2004年3月11日〜3月24日回答は締め切りました。 すべての約数を小さい順に並べると,7番目が10になるような自然数を考えます。1番目は1、7番目は10になります。
今回の問題は、佐藤 広宣さんから提供いただきました。 |
解答
(1) 10を約数に持つことは素因数に2と5が含まれるので2と5が確定 素因数に3を含むと約数に6も必ず含まれる 残りの1つは4,7,9(8を含むためには4も含まれるので不可)のいずれかの3通りの (2,3,4,5,6)(2,3,5,6,7)(2,3,5,6,9) 素因数に3を含まない場合は3,6,9が含まれないことになり 残りの3つは4,7,8の1通りの (2,4,5,7,8) (2) 20を約数に含むのは2が2つ以上あるということ よって4を約数に含むものは上記の 1,2,4,5,7,8,10・・・・ と 1,2,3,4,5,6,10・・・・ しかしの場合は10から20の間に12と15を含むので不可 よってのケースのみ 最小の数は 2x2x2x5x7=280 次に小さいものは さらに2を含むと16を含むので不可 20までの他の素数は含まれないので次に小さいのは5となり 2x2x2x5x5x7=1400 皆様からの解法 |
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奥入瀬さん (1)10の約数1,2,5,10は必ず含まれることから考えましたが、良い考えも浮かばず、その後は完全に手作業でした。 (2)(1)で求めた4通りをながめれば、10と20の間に約数が1つしかない組み合わせは(1,2,4,5,7,8,10)しかありえない。この組み合わせの最小公倍数280を素因数分解して、2^3×5×7。280が最小となり、2番目は、その5倍の1400。 |
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y-iさん (1) 約数に10があるのでそれより小さい約数に2,5は必ずある。これより3が約数なら6も約数になり、9が約数なら3,6の2数も約数。この条件から、2番目から6番目として考えられるのは(2,3,4,5,6) (2,3,5,6,7) (2,3,5,6,9)(2,4,5,7,8)の4通り。 (2) 20=2^2*5が約数として現れるので、素因数分解したとき2の累乗の指数が1になる(2,3,5,6,7) (2,3,5,6,9)は不適。(2,3,4,5,6)になる最小の数2^2*3*5=60の約数を並べると7番目に10、8番目に12、9番目に15となるので不適。(2,4,5,7,8)になる最小の数2^3*5*7=280は7番目に10、8番目に14、9番目に20。次に大きい数は280*2=560が考えられるが2^4=16が約数になるのでこれは280*5=1400。 |
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MEU社長さん まあ10が約数にはいるので、2と5は入ってると考え、 2と5がはいり、2から6番目の約数が2〜9になるすべての場合を抜き出して、存在しないものを消していきました。(9があって3がないとか) (2)は1の答えを素因数分解したとき、10以下の素因数が決まっているので、2,2,5が素因数にはいる数の中で、素因数自身を掛け合わせて、できる数に11〜19の数が1個しか入ってないものを探しました。(2,4,5,7,8)→素因数(2,2,2,5,7) また、2個目は、この数の因数を増やしても上記の条件に合う、因数(5)を探しました。素因数(2,2,2,5,5,7) |
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tekiさん (1)は、1番目から7番目の約数のうち、1と2と5と10は確実にあります。 あとの約数の組み合わせは、3がある場合は必ず6があることに注意すると、解答の4つの場合が求められます。 (2)は20が約数にあることから、(1)の4つの組み合わせのうち、4と5を含むものが候補となりますが、(2,3,4,5,6)の場合は、10と20の間に12と15が含まれてしまうため、不適となります。 結局、(2,4,5,7,8)パターンしかないのですが、このパターンの最小数は280、2番目に小さい数は280の倍数ですが、2の4乗=16を因数に持つと、(1)の条件に反するため、不適となります。 よって、280×5=1400が2番目に小さい数です。 |
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mariさん (1)約数10=2×5から2,5も約数 残る3,4,6,7,8,9のうち、3つを選ぶ。 3が約数なら、6=2×3から6も約数。 残る4,7,8,9から1つを選ぶ 8が約数なら4も約数になるから、これを除く。 残る4,7,9から1つを選ぶ。OK (2,3,4,5,6)、(2,3,5,6,7)、(2,3,5,6,9) 3が約数でなければ、6=2×3,9=3×3から、 6,9は約数でない。 残る4,7,8から3つを選ぶ。OK (2,4,5,7,8) (2)10と20の間に、 (2,3,4,5,6)のLCM2×3×4×5は12,15を約数に持ち不適。 (2,3,5,6,7)のLCM2×3×5×7は14,15を約数に持ち不適。 (2,3,5,6,9)のLCM2×5×3×3は15,18を約数に持ち不適。 (2,4,5,7,8)のLCM2×2×2×5×7は14を約数に持ちOK 2×2×2×5×7=280は題意の一番小さい数 倍数2,5・・・をとると、 倍数2は約数2×2×2×2=16を生むので不適。倍数5はOK 二番目に小さい数=280×5=1400 |
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算数の森さん (1) 10の約数である、1,2,5,10は必ず含まれます。 3を含むかどうかで場合分けします。 (あ)3を含む場合、6(2×3)は必ず含まれます。 残り1つをチェックすると、8以外(4,7,9)が条件を満たします(8は4が含まれてしまうので、だめですね)。 (い)3を含まない場合、当然、3の倍数である6も9も含まれないので、条件を満たす数は1通りに確定します。 (2) 20を約数に持つので、当然4を約数に持ちます。 (1)の答えのうち(2,3,4,5,6)と(2,4,5,7,8)の場合のみチェックすればいいですね。 (2,3,4,5,6)の場合、3×4=12、3×5=15が含まれるのでだめですね(11以上19以下の約数が1つの場合でないとだめだから)。 結局、(2,4,5,7,8)の場合だけ検討すればいいですね。 この場合、11以上19以下の約数は2×7=14だけなので、大丈夫ですね。 したがって、最小の数は8×5×7(2,4,5,7,8のL.C.M. 因みに、2,4は無視できますね)=280となります。 あとは、この倍数をチェックすればいいですね。 2をかけるのは2×8=16が含まれるのでだめですね。3をかけるのは当然だめですね。4をかけるのは、2の場合同様だめですね。5をかけても20以下の約数が新たに出てくることはないので、2番目に小さい数は280×5=1400となります。 |
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tomhさん 10を約数に持つということは、2と5を素因数に 持ちます。求める数をNとすると、 N = 2 x 5^s x P という形になります。Pは11以上の素数の べき乗からなっている部分です。P=1の場合も 含むとします。 Nに小さいほうから順に素数を掛け合わせて いくことで、結局、 (a) N x 2^n x 7^m (n≧2,7≧1) … (2,4,5,7,8) (b) N x 2 x 3 … (2,3,4,5.6) (c) N x 3^n (n≧2) … (2,3,5,6,9) (d) N x 3 x 7^n (7≧1) … (2,3,5,6,7) の4パターンがあることがわかります。 更に20を約数に持つには、2^2x5という因数が 必要となりますが、それを持つのは、(a)と(b)の パターンだけですが、(b)は12と15も約数に 持つので、20が9番目になりません。 よって、この場合、(a)のみが候補で、(P=1として) s=1とs=2のときに小さい解が出て、それぞれ、 280と1400になります。 |
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ゴンともさん (1)先ず,素因数分解で考える事にする。 約数として7番目に10がある事より素因数2・5はある。・・・・・・ 6番目以下を考えるためには7までの素因数を考えれば十分である。 2・3・5・7・・・・・・ でそれぞれの素因数に正の指数をつけて考えるが この時3個の素因数の積は最低でも2・3・5=30より考えなくてよい 2個の素因数の積で10以下のものは2・3=6,2・5=10の2通り より指数のつけ方はより 3があればの形での指数の和が4 3がなければの形での指数の和が5 これより題意を満たすのはで(但し指数0は1で省略) 2^2・3・5・・・・・・ 2・3^2・5・・・・・・ 2^3 ・5・7・・・・・・ 2 ・3・5・7・・・・・・ の3種である。題意の解答の表現にして で(2,3,4,5,6)・・・・・・(答え其の一) で(2,3,5,6,9)・・・・・・(答え其の二) で(2,4,5,7,8)・・・・・・(答え其の三) で(2,3,5,6,7)・・・・・・(答え其の四) (2)先ず(1)の答えとなるもので9番目が20より 2^2・5が含まれるもの答えの候補となる。 ,で題意を満たすかを調べるが10の次は で2^2・3=12,3・5=15,2^2・5=20で満たし答えとならず で2・7=14,2^2・5=20で答えとなり を計算して280 ・・・・・・最小値(答え其の一) その次はの素因数5の所を5^2としたもので 2^3・5^2・7=1400・・・・・・2番目に小さい(答え其の二) |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
yanさん |
2004年3月11日 23:03:37 |
2位 |
寺脇犬さん |
2004年3月11日 23:32:17 |
3位 |
nobuさん |
2004年3月11日 23:34:16 |
4位 |
はにかみ屋さん |
2004年3月12日 0:54:45 |
5位 |
経友会の進作さん |
2004年3月12日 8:39:34 |
6位 |
奥入瀬さん |
2004年3月12日 14:22:40 |
7位 |
信三さん |
2004年3月12日 18:41:03 |
8位 |
ちずさん |
2004年3月12日 18:43:24 |
9位 |
あさ ★さん |
2004年3月12日 19:03:08 |
10位 |
y-iさん |
2004年3月12日 22:21:39 |
11位 |
清川 育男さん |
2004年3月12日 22:33:21 |
12位 |
2004年3月12日 22:35:15 |
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13位 |
なにわさん |
2004年3月12日 22:48:54 |
14位 |
tekiさん |
2004年3月12日 23:15:07 |
15位 |
フィリピンの鷹さん |
2004年3月13日 0:16:16 |
16位 |
mariさん |
2004年3月13日 12:07:49 |
17位 |
2004年3月14日 22:24:10 |
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18位 |
2004年3月15日 12:11:04 |
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19位 |
tomhさん |
2004年3月15日 18:35:05 |
20位 |
受験勉強君さん |
2004年3月15日 23:51:30 |
21位 |
すてっぷさん |
2004年3月17日 21:30:48 |
22位 |
ゴンともさん |
2004年3月19日 21:33:14 |