2004年2月20日〜3月3日 回答は締め切りました。 (※図は正確とは限りません。) 角Aが90度,ABが2cm,ACが1cmの直角三角形ABCがあります。 点Pは辺AB上で,Aを出発してBに向かい,点Qは辺BC上で,Bを出発してCに向かいます。(※速度は共に一定です。) P,Qは同時に出発してPはBに,QはCに同時に到着します。 点QからABへ垂線を引き,ABとの交点をRとします。
今回の問題は、佐藤 広宣さんから提供いただきました。 |
解答
皆様からの解法 |
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neoさん QR=hとおくと,AP=2h 比を使って求めました。 |
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y-iさん (1)PがRよりA側にあるとき QRの長さをaとおくと、三角形CABとQRBは相似なのでRB=2a。またPはBに、QはCに同時につくのでAP=2a。 三角形CABとPRQが相似のとき、PR=a/2。 APの長さをxとおき、比であらわすと 2a:x=(2a+2a+a/2):2 x=8/9。 三角形CABとQRPが相似のとき、PR=2a。 同様に2a:x=(2a+2a+2a):2 x=2/3。 (2)RがPよりA側にあるとき 三角形CABとPRQが相似のとき、PR=a/2。 2a:x=(2a+2a-a/2):2 x=8/7。 三角形CABとQRPが相似のとき、この二つの三角形は合同となり、AP=2。 |
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MEU社長さん 私は方程式で解きました。(と言っても簡単な式です) 条件より、AP=BRがわかります。 まず1個目△ABC∽△RPQ つまり角QPR=角CBAの場合。 三角形QPBが2等辺三角形だから、AP=PR=RB で、単純に2/3←解1 2個目△ABC∽△RQP ABの中点がPRの中点になり、これを点Sとする。 APをXとおくと、PS=RS=1-x PRは2倍で、2-2x RQは△ABC∽△RBQより、いつもx/2 PRの2倍がRQになればいいのだから、 2(2-2x)=x/2 X=8/9←解2 3個目△ABC∽△RQP(P,Rが逆転した後) 上と同様に、PS=RS=x-1 PR=2x-2 RQ=x/2 2(2x-2)=x/2 x=8/7←解3 さいごは△ABCと△RPQが重なる場合で 2←解4 |
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算数の森さん できる直角三角形の「縦」の辺と「横」の辺の比が1:2になる場合と、2:1になる場合があり、それぞれの場合に、PがRより右にある場合と左にある場合がありますね。 あとは、比を書き込んで解きました。 |
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奥入瀬さん Qの速さを、BからAの方向とAからCの方向に分解。 P,Qは同時に出発し、同時に到着するので、 AP=BR、QR=1/2APとなる。 2つの三角形が相似になるのは、 (1)PがRと重なるより前で、PR:QR=2:1のとき QR=とすると、AP=PR=BR= よってAP=2÷3=2/3 (2)PがRと重なるより前で、PR:QR=1:2のとき PR=とすると、QR=、AP=BR= よってAP=2÷(1+4+4)×4=8/9 (3)PがRと重なった後で、PR:QR=1:2のとき PR=とすると、QR=、AP=BR= よってAP=2÷(4+4−1)×4=8/7 (4)PがRと重なった後で、PR:QR=2:1となるとき このときは、PがBと一致するときなのでAP=2 |
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清川 育男さん 0<t<=2t P(t,0),R(2-t,0),Q(2-t,t/2) としました。 |
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経友会の進作さん 先ず縦10センチ、横20センチの三角形を書き じっと睨みました。 A,B,Cの座標を夫々(0,0), (2,0),(0,10)と置きPの移動に伴い、Q、Rの座 標と各点間の長さがどのように変るかを調べ 縦、横が1:2になるようなものを4個出しました。 |
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tomhさん 点Pが頂点Aにいる時刻をt=0、点Pの速さを 2vとします。 (1) 点Pが点Qより辺ACに近いとき、相似になった 時刻をtとすると、 PR = 2-4vt, QR = vt. PR:QR=2:1より、t=1/(3v). よって、AP=2v x 1/(3v)=2/3 cm. PR:QR=1:2より、t=4/(9v). よって、AP=2v x 4/(9v)=8/9 cm. (2) 点Qが点Pより辺ACに近いとき、相似になった 時刻をtとすると、 PR = 4vt-2, QR = vt. PR:QR=1:2より、t=4/(7v). よって、AP=2v x 4/(7v)=8/7 cm. PR:QR=2:1より、t=1/v. よって、AP=2v x 1/v=2 cm. |
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なかさん AP=x とすると、 PR:QR = |2-2x|:x/2 = |4-4x|:x PR:QR=1:2のとき 4-4x=2x → x=2/3 4-4x=-2x → x=2 PR:QR=2:1のとき 8-8x=x → x=8/9 8-8x=-x → x=8/7 |
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はにかみ屋さん PQRが一直線になる真中の点を基準として 2;1の比率を適当に使って暗算です。 |
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mariさん △RBGが△ABCと相似であるのは明らか。 RG=1、BR=2とします。 PとQの速度比からAP=BR=2これから、 AB=AP±PR+RB =2±PR+2=4±PR ただし、PがRの左側で+PR,右側で−PR AP(p)=AB(p)×AP/AB =2×2/(4±PR)=4/(4±PR) 相似の条件PR=2,1/2を代入して、 AP(p)=2/3,8/9,8/7,2(p) |
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すてっぷさん AP=2Xとします。 (1)2−4X:X=2:1より,2X=2/3 (2)2−4X:X=1:2より,2X=8/9 (3)4X−2:X=1:2より,2X=8/7 (4)4X−2:X=2:1より,2X=2 となりました。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
nobuさん |
2004年2月20日 23:05:58 |
2位 |
yanさん |
2004年2月20日 23:19:51 |
3位 |
ちずさん |
2004年2月20日 23:34:51 |
4位 |
tekiさん |
2004年2月20日 23:40:29 |
5位 |
2004年2月20日 23:41:19 |
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6位 |
neoさん |
2004年2月20日 23:53:32 |
7位 |
なにわさん |
2004年2月20日 23:56:33 |
8位 |
ゴンともさん |
2004年2月21日 0:06:22 |
9位 |
y-iさん |
2004年2月21日 0:10:39 |
10位 |
2004年2月21日 0:25:38 |
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11位 |
2004年2月21日 0:55:56 |
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12位 |
信三さん |
2004年2月21日 2:29:46 |
13位 |
小林伸さん |
2004年2月21日 2:50:30 |
14位 |
奥入瀬さん |
2004年2月21日 4:25:29 |
15位 |
清川 育男さん |
2004年2月21日 8:36:53 |
16位 |
経友会の進作さん |
2004年2月21日 9:59:45 |
17位 |
あさ ★さん |
2004年2月21日 10:24:56 |
18位 |
tomhさん |
2004年2月21日 19:09:33 |
19位 |
息子と乙女さん |
2004年2月22日 9:24:06 |
20位 |
フィリピンの鷹さん |
2004年2月23日 0:12:02 |
21位 |
のんちさん |
2004年2月23日 13:56:13 |
22位 |
2004年2月25日 5:00:14 |
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23位 |
2004年2月25日 15:40:55 |
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24位 |
2004年2月25日 18:29:54 |
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25位 |
みかんさん |
2004年2月26日 2:42:43 |
26位 |
mps_takaさん |
2004年2月26日 8:48:22 |
27位 |
はにかみ屋さん |
2004年2月26日 22:29:32 |
28位 |
mariさん |
2004年2月29日 9:00:54 |
29位 |
すてっぷさん |
2004年3月1日 13:10:24 |
30位 |
永弘 世之介さん |
2004年3月3日 10:49:55 |