2004年1月30日〜2月12日 回答は締め切りました。 第7問 りょりょと お友達の花子ちゃんが、5枚のコインを使って遊びを考えました。 はじめ、りょりょが4枚のコインを持ち、花子ちゃんが1枚のコインを持ちます。 ジャンケンをするごとに、りょりょが勝てば、花子ちゃんのコインを1枚もらえ、あいこの場合と、花子ちゃんが勝った場合は、花子ちゃんがりょりょからコインを1枚もらえます。 5枚のコインすべてとった時、『ゲームに勝った』ことになります。 りょりょがジャンケンに勝つ確率(確からしさ)を1/3とすると、りょりょがゲームに勝つ確率(確からしさ)はいくつでしょう? これ以上約分できない分数の形でお答えください。 今回の問題は、柿原 伸次さんに協力いただきました。 |
解答 今回は数学的な解法となりました。皆さんは算数で説明できますか? りょりょが最初に持っているコインの枚数をn枚とし(0<n<5)、そのときゲームに勝つ確率をP(n)とします。 今回はP(4)を求めることになります。 はじめに1枚〜4枚までのコインを持っていた時のゲームに勝つ確率は次のような関係となります。 手持ちのコインが1枚の時、1/3の確率でコインが2枚になり、2/3の確率で負けが確定します。 つまり、はじめに2枚コインを持っていた時に勝つ確率の1/3倍が、はじめに1枚持っていた時に勝つ確率となります。 P(1)=1/3xP(2) ・・・・・ 手持ちのコインが2枚の時、1/3の確率でコインが3枚になり、2/3の確率でコインが1枚になります。 P(2)=1/3xP(3)+2/3xP(1) ・・・・・ 手持ちのコインが3枚の時、1/3の確率でコインが4枚になり、2/3の確率でコインが2枚になります。 P(3)=1/3xP(4)+2/3xP(2) ・・・・・ 手持ちのコインが4枚の時、1/3の確率で勝ちが確定し、2/3の確率でコインが3枚になります。 P(4)=1/3+2/3xP(3) ・・・・・ より P(2)=3/7xP(3) ・・・・・ より P(3)=7/15xP(4) ・・・・・ より P(4)=15/31 すべてに当てはめると P(1)=1/31 P(2)=3/31 P(3)=7/31 P(4)=15/31 はじめ、4枚持っていたりょりょですが、勝つ確率は意外にもわずかに花子ちゃんより少なくなってしまいましたね。 皆様からの解法 |
tomhさん n枚から勝つ確率 をp(n)とすると、 p(4) = 1/3 +(2/3)p(3), p(3) = (1/3)p(4)+(2/3)p(2), p(2) = (1/3)p(3) +(2/3)p(1), p(1) = (1/3)p(2) という連立方程式が成り立つので、これらを解いて、 p(1)=1/31, p(2)=3/31, p(3)=7/31, p(4)=15/31 となりました。 |
清川 育男さん フィボナッチの奇数項を掛けて、循環するまで、、、。 1/3+(2^I/3^(2*I+1))*G(I) |
寺脇犬さん 1,1、2,5、13、34、89、の一般項から 求めました |
算数の森さん りょりょちゃんがn枚からスタートして、花ちゃんが0枚となる確率をP(n)とすると、 P(n)=1/3×P(n+1)+2/3×P(n−1)・・・ P(0)=0・・・ P(5)=1・・・ これを解きます。は次の2通りに変形できます。 P(n+1)−2P(n)=P(n)−2P(n−1)・・・ P(n+1)−P(n)=2{P(n)−P(n−1)}・・・ 、より P(n+1)−2P(n)=P(1)−2P(0) P(n+1)−2P(n)=P(1)・・・ 、より P(n+1)−P(n)=2^n{P(1)−P(0)} P(n+1)−P(n)=2^nP(1)・・・ −より P(n)=(2^n−1)P(1)・・・ で、n=5とし、を使うと P(5)=(2^5−1)P(1) P(1)=1/31 求める確率はP(4)だから、でn=4とすると P(4)=(2^4−1)P(1) =15/31 |
y-iさん (1)りょりょさんが1回目で勝って終わる確率 1/3 (2) (1)以外でりょりょさんが勝つとき、コインを3枚持っ ている状態から2回連続して取ればよい。 その場合の数は1,2,5,13,34…(りょりょさんがじゃんけんに勝った回数2回、3回、4回…)確率は、 (1/9)*{1*(1/3)^0(2/3)^1+2*(1/3)^1(2/3)^2+ …} (3) 花子ちゃんが勝つとき、その場合の数1,3,8,21,55…(りょりょさんがじゃんけんに勝った回数0回、1回、2回…)確率は、 (4/9)*{1*(1/3)^0(2/3)^2+3*(1/3)^1(2/3)^3+ …} =(8/27)*{1*(1/3)^0(2/3)^1+3*(1/3)^1(2/3)^2+ …} (2)、(3)の場合の数は、初項=第2項=1のフィボナッチ数列が交互に現れている。 (2)、(3)の中括弧内の和の極限値をそれぞれx,yとすると、 x+y={2*(1/3)^0(2/3)^1+5*(1/3)^1(2/3)^2+ …} =(x-2/3)*3*3/2 じゃんけんを繰り返すと勝負がつかない確率は限りなく0に近づくので、 x*(1/9)+y*(8/27)=2/3 この連立方程式を解くとx=42/31,y=54/31。 りょりょさんが勝つ確率は1/3+14/93=15/31。 |
信三さん P(4) = 1/3 + P(3)*2/3, P(3) = P(4)*1/3 + P(2)*2/3, P(2) = P(3)*1/3 + P(1)*2/3, P(1) = P(2)*1/3 これを解いて、P(4) = 15/31 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
佐藤 広宣さん |
2004年1月30日 22:27:38 |
2位 |
yanさん |
2004年1月30日 22:56:02 |
3位 |
nobuさん |
2004年1月30日 23:45:19 |
4位 |
すてっぷさん |
2004年1月31日 9:09:00 |
5位 |
tomhさん |
2004年1月31日 18:19:39 |
6位 |
2004年1月31日 23:34:35 |
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7位 |
清川 育男さん |
2004年2月1日 4:44:52 |
8位 |
寺脇犬さん |
2004年2月1日 11:08:06 |
9位 |
2004年2月2日 18:36:16 |
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10位 |
2004年2月2日 19:40:37 |
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11位 |
経友会の進作さん |
2004年2月4日 17:47:01 |
12位 |
y-iさん |
2004年2月7日 9:31:52 |
13位 |
奥入瀬さん |
2004年2月8日 12:21:34 |
14位 |
信三さん |
2004年2月9日 8:52:06 |
15位 |
oguchan1さん |
2004年2月10日 0:34:17 |