2004年1月6日〜1月19日 回答は締め切りました。 第6問 (1) 下の図の四角形は2つとも正方形です。 色を付けた部分の面積が2004cm^2です。 1辺の長さがともに整数になるとすると、何通りの組み合わせが考えられますか? (2) 下の図形は中心が同じ円に内接する2つの正十二角形です。 半径の差が2cmで、色を付けた部分の面積が2004cm^2のとき、小さい方の半径を求めなさい。 正解者の掲示板への入室方法がわからない方はメールまたは一般掲示板でお知らせください。 今回の問題は、呑さんから提供いただきました。 |
解答 呑さんの解法 (1)
2つの整数は、差が偶数なら和も偶数。差が奇数ならば和も奇数。 そうなっているのは(2,1002)と(6,334)の2通り。 お答えは2通りなのね。 また、そのときのそれぞれの辺は(500、502)と(164、170)になります。 (2)
皆様からの解法 |
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neoさん (1)2004=2*2*3*167 (a+b)(a-b)=2004=1002*2=334*6の2通り (2)(x+2)(x+2)/4-x*x/4=2004/12 x=166 |
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にいにいさん (1) x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2004を満たす整数x,yは500,504と164,170 (2) 3(x+2)^2-3x^2=2004 x=166 |
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中島 謙さん (1)大きい正方形の1辺の長さをaとし小さい正方形の1辺の長さをbとする。 a×a−b×b=2004である。2004=2×2×3×167 また、a×a−b×b=(a+b)×(a−b)より (a+b)×(a−b)=2×2×3×167が成立する。 そのような組み合わせは、 (a+b,a−b)=(2004,1)(1002,2)(668,3)(501,4)(334,6)(167,12)の6通り考えられるが、a,bとも整数になる組み合わせは、a+b,a−bが供に偶数のときで、(1002,2)と(334,6)の2組である。 そのとき(a,b)=(502,500)(170,164)である。 (2)12分割した三角形について考えると、小さいほうの半径をrとして、その三角形は、頂点の角度が30度で辺の長さがrの2等辺三角形である。 低角の1つより対辺に垂線を引くと、それが高さと考えられ、その長さは、正三角形を半分にしたときを考えて、r/2である。よって、小さいほうの三角形の面積は r×r/2÷2=r^2/4 同様に大きい三角形の面積は、1辺がr+2であるから (r+2)^2/4である。 よって、 (r+2)^2/4−r^2/4=2004/12 r=166 となる。 |
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ゴンともさん (1)先ず、大きい正方形の一辺をX、小さい方をYとして X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)=2004=2^2・3・167=A・B(ここでA,Bは整数とした。A<B) X-Y=A・・・・・・ X+Y=B・・・・・・ +:X=(A+B)/2・・・・・・ -:Y=(B-A)/2・・・・・・ ここで題意でX,Yが整数よりA+B,B-Aはともに偶数でなければならない。 このためにA,Bの偶奇は2004=2^2・3・167=A・B(=奇・奇とはならない)と上より (A,B)=(偶,偶) これを満たす{A,B}を数える {2,2・3・167} 1通り・・・・・・ {2・3,2・167} 1通り・・・・・・ より+=2通り・・・・・・(答え) (2)先ず、小さい方の円の半径をXとして題意より 1/2(X+2)^2sin30゜-1/2X^2sin30゜=2004/12=(2^2・3・167)/(2^2・3)=167 {(X+2)^2-X^2}/4=(4X+4)/4=X+1=167 ∴X=167-1=166・・・・・・(答え) |
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寺脇犬さん 問1 大きい方の正方形の一辺の長さを M 小さい方を N とすると 2004=M^2-N^2=(M+N)(M-N)が成立する。 MとNは整数だから (M+N)と(M-N)はともに奇数であるか偶数である。 今これらの積は2004であるから 共に 偶数である。 ところで 2004は 2*2*3*167に素因数 分解されるから 可能な組み合わせは 1002*2、 668*3、 501*4、 334*6、 167*12、の5通りだが ともに偶数は(1002,2)、 (334、6)だから 該当する組み合わせは 2通りなのね。 因みに (M+N)(M-N)=(1002,2)のとき (M,N)=(502,500) M+N)(M-N)=(334,6)のとき (M,N)=(170,164) 問2 小さいほうの正十二角形を 30°75°75°の 2等辺三角形 12個に分ける そしてその2等辺の 一辺を aとする。 次にその分割した三角形に 30°60°90°の辺の 関係(2,1、√3)を利用して面積を求めるとa^2/ 4となるから 其の正十二角形の面積は a^2 /4 *12=3a^2 次に 題意より 3(a+2)(a+2)-3a^2=2004 が成立する。 これを解いて a=166なのよね。 |
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tekiさん (1) 大きい正方形の1辺をa、小さい正方形の1辺をbとすると、 2004=a^2-b^2=(a+b)(a-b)となります。 a+b、a-bの偶奇性は一致するので、2004を2つの偶数の積で 表す方法を考えればいいことになります。 2004=2×2×3×167ですので、これを2つの偶数の積で表す には、2004=2×1002、2004=6×334の2とおりしかありま せん。 それぞれの場合の正方形の1辺は、(502、500)、(170、164) ですね。 (2) 正十二角形を12個の二等辺三角形に分割したとき、その頂角は 30度となります。 頂角30度の二等辺三角形の面積は、等辺の長さをLとすると、模範 解答にもあるとおり、正三角形の半分の三角形を利用すれば、 L×1/2L×1/2=1/4×L×Lとなります。 L=L+2とすると、面積は、1/4L×L+L+1 となるので、2つの二等辺 三角形の面積の差は、L+1となります。 正十二角形の面積はこの12倍ですので、2004=12×(L+1) 2004=12×167 より L=166 となります。 |
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ほげさん 偶数2つに気がつくかどうかというのが(1)のミソで しょうか。 |
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フィリピンの鷹さん 2番は、正12角形の面積は半径x半径x3 であることから解きました。 |
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息子と乙女さん (1) (x+y)(x-y)=2004 をもとに算定 x.y正方形の一辺長さ (2) 30度の2等辺3角形の面積×12をもとに算定 |
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tomhさん (1)は、(a+b)(a-b) = 2004から、2004の約数の組(6組)を 当てはめていって解きました。 (2)は、半径rの円に内接する正十二角形の面積が、3r^2なので、 3(r+2)^2-3r^2=2004を解きました。 |
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あ〜くさん (1)一辺の長さを各々a,b(a<b)とすると、 2004=(b-a)(b+a)、ここ でa,b整数より, b-a,b+aともに偶数でなければならない。 従っ て、2004/4=501の(約数の個数/2)が求める場合の数 よって、 501=3・167より、{(1+1)^2}/2=2(通り)■ (2)小さい方の正12角形が 半径aの円に内接するとすれば、 2004=(a/2*2+1)*12(括弧内は斜線 部を12等分したもの つまり整理すればa=166 ■ 微妙に数学っぽく 記号を用いてしまいました(^^;) |
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佐藤 広宣さん 1)は因数分解 (2)は頂角30°の二等辺三角形の面積の差から求めました。 |
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すてっぷさん 無造作に因数分解してしまいました。 |
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mariさん 1)2*2*3*167を2つの積に分けます。 3の項は(1,3)の奇数ずつに 分けるしかなく、 167の項も(1,167)の奇数ずつに分けるしかありま せん。 そして、 2の項は、(2,2)の分け方はよいけど、(1,4)に 分けると奇数と偶数の分け方なので、差と和の奇遇が不一致で 答えが 整数にならす不適です。 したがって、(2,1,1)(2,3,167)と (差が2和が1002と) (2,3,1)(2,1,167) (差が6和が344)の 2通りです。 (2)(r+2)^2/4-r^2/4=r+1=2004/12=167 |
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奥入瀬さん (1) (x+y)(x-y)=2004を自然数の範囲で解きました。 (2) 1/2*sin30*(x+2)^2-1/2sin30*x^2=167を解きました。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
nobuさん |
2004年1月6日 22:17:01 |
2位 |
清川 育男さん |
2004年1月6日 22:17:23 |
3位 |
ちずさん |
2004年1月6日 22:21:39 |
4位 |
neoさん |
2004年1月6日 22:26:49 |
5位 |
yanさん |
2004年1月6日 22:31:04 |
6位 |
にいにいさん |
2004年1月6日 22:40:21 |
7位 |
はにかみ屋さん |
2004年1月6日 23:02:26 |
8位 |
さささん |
2004年1月6日 23:03:07 |
9位 |
えろじじいさん |
2004年1月6日 23:23:51 |
10位 |
2004年1月6日 23:35:17 |
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11位 |
みかんさん |
2004年1月7日 0:03:01 |
12位 |
なにわさん |
2004年1月7日 0:16:46 |
13位 |
kwanchさん |
2004年1月7日 1:56:30 |
14位 |
経友会の進作さん |
2004年1月7日 9:58:14 |
15位 |
中島 謙さん |
2004年1月7日 11:08:12 |
16位 |
2004年1月7日 12:03:24 |
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17位 |
tekiさん |
2004年1月7日 13:03:37 |
18位 |
永弘 世之介さん |
2004年1月7日 15:54:51 |
19位 |
oguchan1さん |
2004年1月7日 20:18:18 |
20位 |
ゴンともさん |
2004年1月7日 21:40:05 |
21位 |
寺脇 犬さん |
2004年1月7日 21:41:45 |
22位 |
2004年1月7日 23:14:25 |
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23位 |
2004年1月8日 1:25:29 |
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24位 |
フィリピンの鷹さん |
2004年1月8日 2:01:31 |
25位 |
信三さん |
2004年1月8日 3:31:05 |
26位 |
p-太郎さん |
2004年1月8日 13:23:42 |
27位 |
息子と乙女さん |
2004年1月8日 16:28:51 |
28位 |
tomhさん |
2004年1月8日 18:12:35 |
29位 |
あ〜くさん |
2004年1月8日 19:04:11 |
30位 |
佐藤 広宣さん |
2004年1月8日 22:45:14 |
31位 |
出合小担任 堀さん |
2004年1月9日 8:06:50 |
32位 |
2004年1月10日 17:40:24 |
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33位 |
2004年1月12日 21:52:43 |
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34位 |
すてっぷさん |
2004年1月13日 22:11:38 |
35位 |
mariさん |
2004年1月15日 17:28:53 |
36位 |
y-iさん |
2004年1月16日 0:35:09 |
37位 |
奥入瀬さん |
2004年1月17日 23:26:39 |
38位 |
2004年1月19日 22:50:31 |
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39位 |
小林伸さん |
2004年1月20日 3:15:01 |
40位 |
木下伸さん |
2004年1月20日 3:17:27 |