2003年12月23日 回答は締め切りました。 第5問 (1) (2) 例:100の場合 18+19+20+21+22=100 9+10+11+12+13+14+15+16=100 の2通り 正解者の掲示板への入室方法がわからない方はメールまたは一般掲示板でお知らせください。 問題作成において、tekiさんにご協力いただきました。 |
解答
このとき、●+■が奇数の場合、■−●+1は偶数となります。 また、●+■が偶数の場合、■−●+1は奇数となります。 つまり、 (●+■)と(■−●+1)のどちらかが奇数でなくてはなりません。 また、●は1以上なので (●+■)>(■−●+1) となります。 そこで(1)の場合 2つの整数の積の形で6615の2倍の13230を作ればいいわけです。 13230=2x3x3x3x5x7x7 ですから、これらの数字を二つのグループに分けて何通りの組み合わせが出来るかを調べます。 このときできたグループの内、大きい方が(●+■)に、小さい方が(■−●+1)となります。 また、13230のなかには偶数をつくる2が1つしか含まれないので、そのまま2つのグループに分けても必ず偶数グループと奇数グループとに分かれます。 (□)x(□x□x□x□x□x□)の分け方4通り (□x□)x(□x□x□x□x□)の分け方8通り (□x□x□)x(□x□x□x□)の分け方11通り あわせて4+8+11=23通り そのうち一つだけ例にとってみると (2x3)x(3x3x5x7x7)=6x2205 ●+■=2205 ■−●+1=6 ●=1100 ■=1105 1100+1101+1102+1103+1104+1105=6615 はじめの数と終わりの数の表です。
次に(2)の場合は 6144を2つの整数の積で表しますが、どちらかが奇数でなくてはいけないので ( 3 )x(2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) の1通り 1023+1024+1025=3072 これは結局、1以外の奇数の約数の個数を求めればよかったわけですね。 約数の個数の求め方を知っていればなお楽が出来ます。 各奇数の素因数の個数にそれぞれ1を足して掛け合わせれば奇数の約数の個数は求められます。 (1)の問題では3が3個、5が1個、7が2個なので (3+1)x(1+1)x(2+1)=24・・・奇数の約数の個数 そこから 1 の分を引くので23個・・・ (1)の答え 皆様からの解法 |
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nobuさん 因数分解して・・ |
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CRYING DOLPHINさん 奇数の約数の個数に着目する、ということを知っていれば簡単な?問題だと思います。(そのことは掲示板を見てから思い出しましたが) この問題のミニ変形版も中学入試などで見たことあります。例としては… ・「自然数」でなく「0以上の整数」とした引っかけ ・3通りに表すことのできる整数で最小のものは? ・連続和で表せない整数の列挙 など… |
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なにわさん エクセルのお世話になりました。 |
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y-iさん 連続した数の最初をa、最後をbとすると、求める和の2倍は(a+b)*(b-a+1)。この場合、b-a+1>=2、a+b>b-a+1。 a,bの偶奇性にかかわらずa+b,b-a+1の偶奇性は異なるので、和の2倍を偶数*奇数の2数の積で表す場合の数を求める。 (1)6615*2=2 *3^3 *5 *7^2 3^3* 5* 7^2の2数の積での表し方は、2をかけて偶数にする方を区別して(3+1)*(1+1)*(2+1)=24通り。これから、 (2*3^3*5*7^2)*1になる場合を除き、23通り。 (2)3072*2=2^11 *3 偶数*奇数で表されるのはこの1通りだけ。このとき、 1023+1024+1025=3072 |
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ziziさん エクセルさんに任せました。 二個だと1引いて2で割切れる、三個だと3引いて3で割り切れる、四個だと6引いて4で割り切れるのが当たり〜という具合です。当たりの数を数えました。 |
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信三さん N個がOKかどうかを知るのに、1からNまで足した和を、6615から引いて、結果が、Nで割り切れるかを、2から115までのNについてコンピュータにやらせました。 コンピュータに手抜きをさせる気はないのですが、その後、旨い(おいしい?)方法を見つけましたので、紹介します。 まず、M=6615ー1から始めます。Mー2を新しいMとし、6612が2で割れるので、発見個数(N)が1となります。次にそのMー3=6609が3で割れるので、N=2。次のMー4=6605は4で割れません。次のMー5=6600は5で割れますので,N=3。 このようにして次々にMを更新しながらその時の数で割れるかどうかを調べ、Mが負になるまで続行し、OKの数を総計します。 |
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フィリピンの鷹さん N個連続した数の和とした場合、 Nは6615の約数及びその2倍の数 但し、1を除き 6615をNで割った 数がN/2より大きい場合、ですね。 |
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寺脇 犬さん まず約数を求めます。 正の整数Aの素因数分解を A=P^α・Q^β・・・R^γとすれば Aの約数の個数は (1+α)・(1+β)・・・(1+γ)個 但し1及びA自身も約数と考えるものとする。 (この証明は略します) 6615=3^3・5^1・7^2から その約数の個数は 4×2×3で 24個 その24個はすべて3,5,7、の奇数の素因数からで きているので全部奇数です。 次に、 一般に整数Aが奇数の約数を持つとき A=(2P+1)・Rと表せる。(Pは整数とする) そして Rを真ん中にして連続数が作れる つまりRを真ん中にして Sを最小数、 Lを最大数とすれば A=S+(S−1)+(S−2)+・・・R+・・・+(L-1)+L これを(1)とする この式は ど真ん中のRの左に P個 右にP個 それにど真ん中のRである1個の 合計(2P+1)個の数が並んでいるってことです. もしもSがマイナスならば S+(S-1)+(S-2)+・・+0+・・+(−S−1)+(−S)=0 より (これを(2)とする) (1)−(2)=A-0=A すなわち (−S+1)+(ーS+2)+・・+(L-1)+L=A これを (3)とする よってこれも正の整数だけで作った連続数の和ですね ところで (1)の形で作った連続数の和は 左右対称にど真ん中の1個足すから当然奇数個ですね (3)の場合だと(1)の奇数個から(2)の奇数個を 引いているからこの場合は偶数個の連続数の和となる 以上から1個の奇数の約数から必ず(1)か(3)の 形の1通りの連続数の和が得られる 逆に1通りの連続数が与えられると それは上の (1)か(3)のどちらかの形になる (1)なら奇数個よりセンターの数が1個存在してそれに 対応して奇数が1個決定する (3)なら偶数個だから(2)の奇数個を作って(1)の マイナスからはじまる奇数個の和を作る、このとき センターの数が1個存在してそれに対応して他の別の 奇数が1個決定する。ということで 奇数の約数(但し 1は除く)と正の連続数の和は1対1に対応するから その個数は一致する。 1を除くのは 奇数の約数が 1だとある整数は1個になって連続しないからです。 以上から ある整数を連続した整数の和で表す方法は その整数の奇数の約数の個数引く1通りある。 したがって 問1の答えは 24−1=23 で23個 次に問2の3072ですが これは 3072=2^10・3^1だから 約数の1を除くと奇数の約数は3だけだから 1個ですね |
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yanさん 1.6615=3^3×5^1×7^2 と表せます。 また、連続した数の和は、数字の個数×平均となります。 (1) 数を奇数個に分ける場合 平均の値は、自然数になります。 はじめの数が1の場合(実際にはありえませんが)は、数字の個数2m+1とすると平均はm+1 (2m+1)×(m+1)=6615 はじめの数は1以上なので、これから、mは57以上ということになります。 そこで、6615の57以上の約数を数えます。 12個 (ただし、3^3×5^1×7^2は、連続した数の和になりませんので除きます) (2) 数を偶数個に分ける場合 平均の値は、小数部が0.5になります。 はじめの数が1の場合(これも実際にはありえませんが)は、数字の個数2mとすると平均は(2m+1)/2 2m×(2m+1)/2=6615 はじめの数は1以上なので、これから、mは58以上平均の2倍は(2m+1)は117以上ということになります。 そこで、6615の117以上の約数を数えます。 11個 2.3072=3×2^10 (1) 数を奇数個に分ける場合 3つにしかわけることができません。 (1023+1024+1025) 1個 (2) 数を偶数個に分ける場合 平均は、(2×3+1)/2=3.5となり、このとき、はじめの数は自然数になりません。 |
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あ〜くさん まず奇数個(2m+1個、真ん中の数をn)の連続数で表される数字は(2m+1)・n(n>m) 偶数個だと(2m個、真ん中の方はn,n+1)(2n+1)m (n>m-1)と書けるため、少なくとも与えられた自然数は2*(何らかの平方数)より大きいときに連続数で表現できる。 (1)6615=3^3・5^1・7^2、2・58^2>6615>2・57^2であり、57より大きい6615の約数は63であるので、真ん中(の方)の数は63・105・135・・・・2205、計12個があげられる。 また、偶数個で表される場合は、大小が決まっているので、1通りに決まり、奇数個で表される場合も同じである。(何故なら奇数*奇数であるので) (63と105では重複するが、1:1で考えれば重複はなくなる) ただし、[6615/2]=3307と3308の二個でも表現可能。 従って、求める場合の数は、11*2+1=23(個) (2)3072=2^10・3^1、2・40^2>3072>2・39^2であり、39より大きい3072の約数は48であるのが、2個以上の連続数で表現可能な数は(奇数)*(自然数)又は(偶数)*(自然数/2)で表されなければならないので、それを満たすのは、3*1024のみ。 従って、求める場合の数は1個。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
2003年12月23日12:07:29 |
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2位 |
nobuさん |
2003年12月23日12:47:53 |
3位 |
neoさん |
2003年12月23日13:03:08 |
4位 |
清川 育男さん |
2003年12月23日13:16:01 |
5位 |
miyaさん |
2003年12月23日13:32:27 |
6位 |
ちずさん |
2003年12月23日14:07:40 |
7位 |
佐藤 広宣さん |
2003年12月23日15:26:07 |
8位 |
2003年12月23日15:58:54 |
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9位 |
2003年12月23日16:27:42 |
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10位 |
yanさん |
2003年12月23日17:12:12 |
11位 |
信三さん |
2003年12月23日18:03:38 |
12位 |
みかんさん |
2003年12月23日19:09:24 |
13位 |
なにわさん |
2003年12月23日19:14:04 |
14位 |
はにかみ屋さん |
2003年12月23日22:43:58 |
15位 |
2003年12月23日23:50 |
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16位 |
経友会の進作さん |
2003年12月24日11:20:09 |
17位 |
2003年12月24日23:27:21 |
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18位 |
y-iさん |
2003年12月25日00:08:57 |
19位 |
tomhさん |
2003年12月25日18:52:02 |
20位 |
ziziさん |
2003年12月25日20:46:24 |
21位 |
ゴンともさん |
2003年12月25日20:53:03 |
22位 |
すてっぷさん |
2003年12月27日13:14:32 |
23位 |
フィリピンの鷹さん |
2003年12月28日21:51:46 |
24位 |
寺脇 犬さん |
2003年12月29日 1:29:46 |
25位 |
永弘 世之介さん |
2003年12月29日22:28:44 |
26位 |
あ〜くさん |
2003年12月30日19:58:36 |