2003年11月23日 回答は締め切りました。 第4問
円周率が必要な場合は3.14としてください。 問題作成において、呑さんにご協力いただきました。 |
解答 呑さんの解法
ろろの解法
このことから、星型の周上の点の軌跡の長さの平均は つまり、この切り口が星型のドーナツの表面積は、星型の図形を底面とした、高さ31.4cmの12角柱の側面積と考えることが出来ます。 よって、表面積は (2) 切り口が円の場合も同様に底面が直径3cmの円の円柱と考えることができます。 1cm^3が0.2gなので、ドーナツの体積は ドーナツの表面積は 参考 回転体の表面積・体積を求めるにはパップス・ギュルダンの定理(Pappus-Guldinus theorem)を使うことで求めることも出来ます。 この、証明は数学の範囲になります。 皆様からの解法 |
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tekiさん (1) 表面積=重心の移動距離×周囲の長さ より 2×5×3.14×12=376.8 (2) ドーナツの体積は、45÷0.2=225 体積=重心の移動距離×断面積、表面積=重心の移動距離×周囲の長さ より 表面積÷体積=周囲の長さ÷断面積=2/3×2=4/3 よって、表面積は、225×4/3=300 |
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CRYING DOLPHINさん (1)(2)とも、パップス・ギュルダン定理を 用いました。 算数の世界では、センターライン公式 とも呼ばれていたりします。 この定理を厳密に証明するのは、高校数学でも 結構大変ですが、(2)くらいであれば、ドーナツを 細かく輪切りにして組み合わせると円柱に近づく とすれば、何とか算数でも説明できるでしょうか (円の面積公式を小学生に教えるときにも似た ようなことをしますね) |
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なにわさん (1)12*(2*3.14*5)=376.8 (2)表面積=4*体積/直径=4*225/3=300 |
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算数の森さん パップスギュルダンですね。 小学生的には、細かく刻んで円柱にします。 |
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neoさん (1)円錐と円柱の側面積 (2)円柱に直して考えました。 |
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くまさん 小学生にどうやって教えようかなーとといたのですがやるとしたら説明はおそらく呑さんと同じ方法かもしくは平面で考えたあと空間に射影する方法でやると思うのですがあまりに厳密性を欠くので出たらあきらめろといいますね確実に。 僕自身はパップスギュルダンで解くのがしゃくだったので1は射影を利用して(図が描けないのでうまく説明できないのですが・・・)、2は二次の微小項を考慮してから積分をしました。こちらもまずABに垂直な直径のみを回転させて出来る穴の開いた円盤の面積を考え、これを空間上に射影させたものと考えても結果は同じになります。ただしこの考え方はかなり直感的で怪しいとき方なので好きではありません。パップスギュルダンの証明でつかうモーメントの考え方のほうがいいと思います。 |
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yanさん 1は平均の半径5cm×2πに周の長さ12cmを掛けました。 2は体積225cm3から体積は重心と円の面積・円周から関係式を作りました。 表面積は半径と比例関係にあるので判りましたが体積は軸を回転したときの体積の積分式から考えました。 |
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あ〜くさん |
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もありすさん パップスギュルダンの定理 |
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tomhさん Pappus-Guldinusの定理で、 (表面積)=(重心の移動距離)x(周長) (体積)=(重心の移動距離)x(断面積) で出しちゃいました。 |
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はにかみ屋さん (1) 中心から5cmのポイントを境に対称な形になっていることがわかります。 円周は中心からの距離に比例しますので、この対称線よりAcm外側の円周とAcm内側の円周を足して2で割ると対称線の円周と同じになります。 輪郭の長さは12cmなので 表面積 12×10×3.14=376.8 (2) ドーナツの体積 45÷0.2=225 ドーナツをまっすぐに伸ばしたものを上から見ると、長方形の先端から直角三角形を除いた形になります。 (1)の理由により、この側面積は円柱の側面積と捉えることが出来ます。 円柱の長さ 225÷(1.5×1.5×3.14)=100/3.14 表面積 3×3.14×100/3.14=300 |
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ばややんさん (1)は、断面図で斜めになる部分の面積を求めるのに、わざわざ展開図まで描いて何とか求めたんですが、それだとルートがでてきてすでに算数でなし(^_^;) (2)に至っては、まったく分からなかったんで、体積は断面積(1.5×1.5×3.14)をどうにかしたら225^cm3になるんやから、表面積は断面積の周囲長(3×3.14)をどうにかしたら求められる数字のはず、と考えて、そのプロセス(どうにかしたら、の部分)を一切無視。単純に比から1.5×1.5×3.14:225=3×3.14:表面積として解きました。 |
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y-iさん (1)問題の環を切って組み合わせると柱の形になります。高さは全部分の移動距離の平均、つまり重心部分の移動距離なので2*5*3.14、求める表面積はこの柱の側面の長方形面積なので、長方形の横は回転させた図形の周りの長さで12。よって求める面積は2*5*3.14*12=376.8。 (2)同様に円柱に置き換えて考えると、この体積は45/0.2=225。これより高さ、つまり円の中心の移動距離は 225/(3.14*1.5^2)=100/3.14。円周は3*3.14なので、求める表面積は(100/3.14)*3*3.14=300。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
nobuさん |
2003年11月23日13:22:42 |
2位 |
tekiさん |
2003年11月23日13:48:55 |
3位 |
2003年11月23日14:15:08 |
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4位 |
2003年11月23日14:26:17 |
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5位 |
佐藤 広宣さん |
2003年11月23日14:42:47 |
6位 |
miyaさん |
2003年11月23日17:14:29 |
7位 |
ちずさん |
2003年11月23日18:34:35 |
8位 |
2003年11月23日23:18:19 |
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9位 |
なにわさん |
2003年11月24日00:54:32 |
10位 |
2003年11月24日02:18:10 |
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11位 |
フィリピンの鷹さん |
2003年11月24日02:54:09 |
12位 |
2003年11月24日07:33:36 |
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13位 |
neoさん |
2003年11月24日10:21:09 |
14位 |
くまさん |
2003年11月25日22:43:33 |
15位 |
yanさん |
2003年11月26日08:14:03 |
16位 |
息子と乙女さん |
2003年11月26日22:03:19 |
17位 |
もありすさん |
2003年11月27日01:06:45 |
18位 |
2003年11月27日19:56:51 |
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19位 |
tomhさん |
2003年11月27日20:01:22 |
20位 |
p-太郎さん |
2003年11月28日09:36:15 |
21位 |
はにかみ屋さん |
2003年11月28日16:14:07 |
22位 |
あ〜くさん |
2003年11月28日23:56:18 |
23位 |
信三さん |
2003年11月29日19:15:25 |
24位 |
ばややんさん |
2003年11月29日21:55:19 |
25位 |
y-iさん |
2003年11月29日23:49:52 |
26位 |
2003年11月30日07:15:58 |