算数問題

２００３年１０月１９日『10000回アクセス記念』回答は締め切りました。

第２問

一辺が１ｃｍの小立方体を隙間なく積み上げた図のような　たて３ｃｍｘ横４ｃｍｘ高さ５ｃｍ　の直方体ABCD-EFGHがあります。

側面ABFE，側面BCGF，側面ABCDの黒く塗られた部分から垂直に、向かい側の面まで小立方体をくりぬきました。

くりぬいた後の立体を点C，点F，点Mを通る平面で切断した時、切断された小立方体が下から１段目・２段目・３段目・４段目・５段目にそれぞれいくつずつあるか求めなさい。
ただし、点Mは辺AEの中点とします。
点EFGHを含む段が下から１段目、点ABCDを含む段が５段目になります。
注）くりぬいた後、小立方体が宙に浮く状態になるものがあっても、そのまま静止しているとお考え下さい。

問題作成において、算数の森さんにご協力いただきました。

解答

下から１段目２個・２段目３個・３段目３個・４段目３個・５段目４個

ＡＢＦＥの面から見た図はこちらをご覧下さい

皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

tekiさん
標準的にスライスして、上下の直線がどこを通るか考えました。

信三さん
私のやり方は、この直方体を、キューブの縁に沿って、BCGFの面に平行に４個の３＊４の部分に分解した図面を書きます。
それぞれの部分において、まず、くり抜かれたものに印を付けて除外します。
次に、切断面がそれぞれの部分において、どのように起こるかを記入します。
これは、それぞれの部分において、直線CFに平行な帯状の区域になり、同じ幅の４帯で点Mに到ります。
この帯に掛かるキューブが平面に切られるものです。
右から２列目の上から２段目の奥のキューブは微妙で、これは計算で調べるしかないでしょう。

ちずさん
１～５段目までの断面図と切断面との関係を地道に調べました。

みかんさん
直方体の上面はＡＤの中点とＣを結ぶ直線で切れるということが分かれば、あとは地道に各段の境目でどう切れているかを示す平行線を描き、上から１段めと２段目の境目の切断線と上面の切断線との間が上から１段目で切れている部分、というようにやっていくしかない。
もともとない部分の立方体もあり、地道にやるしかなさそうです。

フィリピンの鷹さん
この手の問題は、たまに見かけますが、一段ずつ切って考えるしかないのでしょうね。
私はＢＦＧＣの面を正面として順に切っていきました。
適当に図を書いてやったら正解にたどり着かなかったので、Ｆをゼロとして、ｙ＝５／３ｘを　ｙ＝５／３ｘ＋５／２　までずらして、正確に計算しました。

高橋　道広さん
今回は４段目がめんどうでしたが、平面の式を書いて格子点が平面の上にあるかどうか調べました。

くまさん
解答方法は小学生的にエレガントに解けなかったので、Eを原点とし、XYZ座標系を設定した後、平面CMFの方程式をだして解きました。
切断面との交わる線を求めるときにEを原点とおきM（０．０．５/2）　F（４，０，０）C（４，３，５）と座標を設定した後,外積を使って平面MFCの方程式(15/2)x-20y+12z=30を求め、Z＝１、２、３、４、５においてのこの平面の切り口を考えたといことです。

順位	正解者	到着日時
１位	呑さん	2003年10月19日12:39:52
２位	nobuさん	2003年10月19日13:52:35
３位	neoさん	2003年10月19日15:11:56
４位	tekiさん	2003年10月19日15:18:39
５位	信三さん	2003年10月19日15:55:59
６位	柿原　伸次さん	2003年10月19日16:21:08
７位	ちずさん	2003年10月19日16:31:49
８位	みかんさん	2003年10月19日23:24:53
９位	miyaさん	2003年10月20日07:15:52
１０位	すてっぷさん	2003年10月20日17:26:20
１１位	佐藤広宣さん	2003年10月20日23:49:25
１２位	フィリピンの鷹さん	2003年10月20日02:12:14
１３位	玉手箱さん	2003年10月21日13:57:52
１４位	ほげさん	2003年10月22日15:52:53
１５位	くまさん	2003年10月24日00:56:30

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