2005年4月4日〜2005年4月17日 第14問 図のようなADとBCが平行で、AB=13cm、BC=23cmである台形ABCDがあります。 ACとBDの交点をEとすると、∠AEB=90°になりました。 また、∠ABFが∠DBFの2倍の大きさになるような点FをAD上にとったところ、∠FBC=60°になりました。 (1) (2) ※参考:3辺の比が『3:4:5』、『5:12:13』、『7:24:25』の三角形は直角三角形となります。 今回の問題は、「始 受験勉強君」さんから提供いただきました。 |
解答 (1)3:23 (2)156cm^2 解法例 その1(「始 受験勉強君」さんの解法) (1)
解法例 その2(ろろの解法) (1)
皆様からの解法 |
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kasamaさん 【問題1】 座標の割当て ∠CBF=α、∠DBF=θとして、以下の通り座標を割り当てます。 B={0,0}、C={23,0}、A={13cos(α+2θ),13sin(α+2θ)}、D={13sin(α+2θ)/tan(α-θ),13sin(α+2θ)} BDとACが直交 ベクトルD-BとC-Aの内積が0で、α=π/3を適用して整理しますと、 (D-B,C-A)=0⇒169(2sin(θ)-1)2(1+2sin(θ))2(4sin2(θ)-3)2(9-2184sin2(θ)+2704sin4(θ))=0 となって、有効な解は sin(θ)=(2√39-3√13)/26、cos(θ)=(2√13+3√39)/26 です。ついでに、 sin(2θ)=2cos(θ)sin(θ)=(12-5√3)/26、cos(2θ)=1-2sin2(θ)=(5+12√3)/26 sin(3θ)=3sin(θ)-4sin3(θ)=9√13/169 cos(α+2θ)=cos(α)-2cos(α)sin2(θ)-2cos(θ)sin(α)sin(θ)=5/13 sin(α+2θ)=sin(α)-2sin(α)sin2(θ)+2cos(α)cos(θ)sin(θ)=12/13 sin(α-θ)=cos(θ)sin(α)-cos(α)sin(θ)=3√13/13 tan(α-θ)=(tan(α)-tan(θ))/(1+tan(α)tan(θ))=3/2 ですね。 AEとCEの比 上記の値を利用して、 AE=13sin(3θ)=9√13/13、CE=23cos(π-(α-θ))=23sin(α-θ)=69√13/13 となって、 AE:CE=3:23 ・・・(答) 【問題2】 上記の値を利用して、 B={0,0}、C={23,0}、A={5,12}、D={8,12} なので、 △ABC=Det[{B-A,D-A}]/2=18、△BCD=Det[{C-B,D-B}]/2=138 となって 台形ABCD=18+138=156 ・・・(答) |
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ほげさん DとかFとかはとってつけたようなので 無視して 三角形ABCについて考えます (1) 角DBF=xとすると 角ABC=60+2x 角ACB=90-角EBC=90-(60-x)=30+x であるから 角ABC=2×角ACB そこで 角ABCの二等分線がACと交わる点をPとすると 三角形ABCと三角形APBが相似であることから BP=aとすると AB:BC=AP:PBから 13:23=AP:a AP=13a/23 一方三角形PBCは二等辺三角形であるから PC=a となる (このことは角の二等分線の公式 AB:BC=AP:PCからも出るけど 小学生の範囲の解答では上のようにやったほうがいいのでしょうね) 次にA,Pから辺BCへ垂線をおろし足をQ,Rとする 三角形ARCと三角形PQCは相似であるから PC:CQ=AC:CRから a:23/2=36a/23:CRから CR=18 よってBR=5 最後に三角形ABRと三角形BPEが相似ですから AB:BR=BP:PE より 13:5=a:PE よって PE=5a/13 以上から AE:EC=(13a/23-5a/13):(a+5a/13) =3:23 となります (2) 三角形AEDと三角形CEBが相似であるから AD:CB=AE:EC から AD:23=3:23 よってAD=3cm 一方 参考から AR=12 よって面積は (3+23)×12÷2=156cm^2 |
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yanさん ∠FBD=aとすると、 ∠ABC=60°+2a、∠EBC=60°−a、∴∠ECB=30°+a=θとする。 ∠ABC=2θとなる。 BCの中点をM、ADの中点をNとすると ∠BECが直角であるからB、E、CはMを中心とする半径23/2(cm)の円周上にある。 ∠AEDが直角であるからA、E、DはNを中心とする円周上にあり この円の半径をr(cm)とする。 ここで、∠EMBは2θとなり(円周角と中心角または二等辺三角形の外角より) ADとBCは平行であるから∠EAD=θ、よって∠ENDは2θとなるから、 N、E、Mは一直線上にあることになる。よって台形ABMNはAB=NMなる等脚台形である。 AB=NM=r+23/2=13 ∴r=3/2(cm) AE:ECはそれぞれの円の半径の比であるから 3:23 (1)の答 AD=2r=3(cm) MNを左に半径分平行移動して点Nを点Aにつけると 10、13、13(cm)の二等辺三角形ができることから 台形の高さは12(cm) 面積は(23+3)×12/2=156cm^2 (2)の答 |
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カエさん ∠FBD=aとする Aから辺BCにおろした垂線をAGとすると ∠BAG=30ー2a 辺BC上にBG=GHとなる点Hをとると 三角形ABHは2等辺三角形となりAH=13 ∠BAH=60−4a ∠ABC=60+2a、∠ACB=30+aなので ∠BAC=90−3a ∠HAC=30+aとなり 三角形HACは二等辺三角形でHC=13 BH=10でBG=5 よって三角形ABGは13:12:5の直角三角形で AG=12、台形の高さは12 次にBCを一辺とする23X12の長方形JBCKを描く(中に台形ABCDがすっぽり収まるような) 三角形JBD∽三角形KAC JB:JD=KA:KC 12:JD=18:12 JD=8 よってAD=3 したがって AE:EC=3:23 台形ABCDの面積は (3+23)*12÷2=156 |
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ナキイルカさん (1)は「60度」に着目して、 壱)△BCEをBCについて折り返して△BCE'を作成 弐)△BCE'をBE'について折り返して三角BC'E'を作成 すると、A-B-C'とC'-E'-Cはともに一直線。 あとは△BCC'の面積を23として面積比を利用すれば… AE:EC=13−23÷2:23÷2=3:23。 (2)は算数で解くのをあきらめて、△ABEと△CBEが 辺BEを共有することに着目した三平方の定理に走り… 13^2−(3x)^2=23^2−(23x)^2。 これを解けばx=3√13/13。 これより直ちにBE=46√13/13とわかる。 あとは相似比なりを用いて面積を求めるだけです。 実のところは、 (1)はおおよその解き方を知っていて、 (2)は「AからBCに垂線の足AHをひくと、5:12:13の 三角形ができそうだな…」と推論を押し付けたという のが真相です。お粗末。。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
nobuさん |
2005年4月4日 21:29:44 |
2位 |
yanさん |
2005年4月4日 21:39:18 |
3位 |
2005年4月4日 22:14:48 |
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4位 |
kasamaさん |
2005年4月5日 11:56:05 |
5位 |
カエさん |
2005年4月5日 22:36:26 |
6位 |
2005年4月5日 23:08:35 |
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7位 |
2005年4月7日 16:28:35 |
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8位 |
2005年4月8日 21:16:49 |
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9位 |
uchinyanさん |
2005年4月9日 21:54:59 |
10位 |
女衒の諒さん |
2005年4月10日 20:09:35 |
11位 |
経友会の進作さん |
2005年4月11日 22:59:30 |
12位 |
2005年4月12日 1:02:31 |
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13位 |
フジ27時間さん |
2005年4月12日 23:41:09 |
14位 |
yokoさん |
2005年4月13日 17:54:12 |
15位 |
すてっぷさん |
2005年4月17日 22:59:22 |