2004年5月7日〜5月20日回答は締め切りました。 △ABCの中に点Pをとり各頂点と結ぶと ∠ABP=∠PBC=16° となりました。 この時∠ACP(ア)の角度は何度ですか? |
解答 28° △BCPを線分BCを軸として折り返した時、点Pと重なる点をQ、△ABPを線分ABを軸にして折り返した時、点Pと重なる点をRとし、CPの延長線とABとの交点をSとする。 ∠ASC=∠SBC+∠SCB=16x2+14=46° ∠APC=∠ASP+SAP=46+30=76° △CPQは二等辺三角形より ∠CPQ=(180−14x2)÷2=76° BP=BQ=BR ∠QBP=∠RBP=16x2=32°より △BPQと△BPRは合同。よって PQ=PR AR=AP ∠RAP=30x2=60°より △ARPは正三角形。よって PR=AP=PQ △CAPと△CQPは2辺が等しくそのはさむ角が等しいので合同。 よって ∠ACP=14x2=28° 皆様からの解法 |
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tomhさん ∠APC=76度ということは、すぐにわかります。 正弦定理で、 PC = (sin16/sin14)PB, PA = (sin16/sin30)PB = 2PBsin16. 余弦定理で、 (AC/PB)^2 = (sin16/sin14)^2 + 4(sin16)^2 -4(sin16/sin14)sin16cos76. ここで、cos76=sin14を使うと、 (AC/PB)^2 = (sin16/sin14)^2 ∴ AC = (sin16/sin14)PB. ∴ AC = PC ∴ ∠ACP = 180 -2x76 = 28度. |
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tekiさん 角の2等分線をもう1本引き、三角形QBCを作ると、点Pは、この三角形の内心。 三角形QAPが二等辺三角形になるので、APとCQは 直交します。 よって、CQは角PCAの二等分線になってますね。 つまり、求める角度は14×2=28度 |
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ゴンともさん 先ずCから直線ABに対して直線を引きその交点をDとし またその直線と直線APとの交点をEとした。 ∠PCD=14度・・・・・・ とすると∠BDC=120度・・・・・・ すると∠CDA=60度,すると∠CEA=∠DEA=90度・・・・・・ ここで内角の二等分線の交点は内心 これととより∠PDC=∠ADC=60度 これととより∠DPA=30度・・・・・・ すると題意の図で∠DAP=30度 これととより△DPAは二等辺三角形 これととよりPE=EA またこれととCDが共通であることより △PEC=△AECより∠PCD=∠ACD これととより∠PCD=∠ACD=14度 ∴ ∠PCD+∠ACD=∠ア=28度・・・・・・(答え) |
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寺脇犬さん APを延長してBCと交わる点を Rとすると 角ARB=118度 角ARC=62度 角CPR=104度 角APC=76度 次に三角形CAPの形状を調べる。 と言うのは、 任意の三角形に於いて 二つの内角の二等分線の長さが 等しければ その三角形は二等辺三角形である。(これは 証明されている定理) 三角形CAPに於いて 今 角A < 角P と仮定する。 まず 角A 角Pの二等分線を AD PE として 線分CE上に 点Fを 角CAD=角EPFとなるようにとる、 さらに 角A < 角APFより 辺AF上に 点Gを AG=PFであるようにとる さらにさらに 線分AD上に 点Hを GH と FP が平行となるようにとる。 このとき 三角形AGH ≡ 三角形PFE が成立する。 それで PE=AH がいえる。 AH < AD なんで、 角A < 角P なら PE < AD 角A > 角P なら PE > AD 従ってもし PE=AD が成立すれば 角A =角P なんで 三角形CPAは 二等辺三角形って ことになるわけですね。 以上から 角A=角P=76度で 求める角ACPは 28度 |
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信三さん APの右側に、三角形APQが正三角形になるように点Qを取り正三角形APQを作る。 BCの上に、BD=BAとなる点Dを取る。 QとC、PとDを結んで、3個の三角形を作る。以下にこれらが合同であることを示す。 角PDB=30度、角PCD=14度から、角CPD=16度。 点Pの周りの角度は、角CPQ以外は既知で、計算すると角CPQ=16度。 従って、三角形PCDと三角形PCQは2辺とこれを挟む角が等しいので合同。 従って、角PCQ=14度。 点Qの周りの角度は、AQP=60度、PQC=150度から、角AQC=150度。 従って、三角形PCQと三角形ACQは2辺とそれを挟む角が等しいので合同。 従って、角ACQ=14度。 従って角ACP=ACQ+PCQ=28度 |
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浜田 明巳さん 次のCで解きました. /* r10.c */ #include<stdio.h> #include<math.h> #include<conio.h> void main(){ double kizami=.01,Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Px,Py,Axx,Ax_max,Ax_min; double a,b,c,d,sa,min=1000.0,kotae,rad; int dankai; Bx=.0; By=.0; Cx=1.0; Cy=.0; Axx=.0; rad=4.0*atan(1.0)/180.0; /* BP:y=tan(rad(16.0))*(x-Bx)+By=a*x+b */ a=tan(rad*16.0); b=a*(-Bx)+By; c=tan(rad*(90.0-(90.0-16.0*2.0-30.0))); /* APの傾き */ for(dankai=1;dankai<=14;dankai++){ if(dankai==1){ Ax_min=kizami; Ax_max=2.0; } else{ Ax_min=Axx-kizami; Ax_max=Axx+kizami; kizami*=.1; } for(Ax=Ax_min;Ax<=Ax_max;Ax+=kizami){ Ay=Ax*tan(rad*(16.0*2.0)); /* AP:y=c*(x-Ax)+Ay=c*x+d */ d=c*(-Ax)+Ay; /* Py=a*Px+b=c*Px+d */ Px=(d-b)/(a-c); Py=a*Px+b; sa=fabs(atan((Py-Cy)/(Cx-Px))/rad-14.0); if(min>sa){ min=sa; Axx=Ax; kotae=(atan((Ay-Cy)/(Cx-Ax))-atan((Py-Cy)/(Cx-Px)))/rad; printf("∠ACP=%25.20lf°,|∠PCB-14°|=%25.20lf°\n",kotae,min); } } } getch(); } |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
1位 |
ゴンともさん |
2004年5月7日 22:10:29 |
2位 |
oguchan1さん |
2004年5月7日 22:12:05 |
3位 |
永弘 世之介さん |
2004年5月7日 22:18:08 |
4位 |
nobuさん |
2004年5月7日 22:18:25 |
5位 |
みかんさん |
2004年5月7日 22:19:25 |
6位 |
ちずさん |
2004年5月7日 22:24:01 |
7位 |
あさ ★さん |
2004年5月7日 22:25:03 |
8位 |
経友会の進作さん |
2004年5月7日 22:31:00 |
9位 |
なにわさん |
2004年5月7日 22:40:10 |
10位 |
tomhさん |
2004年5月7日 22:52:38 |
11位 |
yanさん |
2004年5月7日 22:55:28 |
12位 |
2004年5月7日 22:59:24 |
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13位 |
tekiさん |
2004年5月7日 23:45:49 |
14位 |
まちゃぴさん |
2004年5月8日 9:26:16 |
15位 |
すてっぷさん |
2004年5月8日 13:09:49 |
16位 |
寺脇犬さん |
2004年5月8日 19:32:52 |
17位 |
ziziさん |
2004年5月8日 22:30:11 |
18位 |
さささん |
2004年5月9日 0:13:51 |
19位 |
2004年5月9日 10:39:38 |
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20位 |
秀才くんさん |
2004年5月9日 17:01:11 |
21位 |
始 受験勉強君さん |
2004年5月9日 19:44:38 |
22位 |
信三さん |
2004年5月10日 3:32:26 |
23位 |
息子と乙女さん |
2004年5月10日 14:34:55 |
24位 |
2004年5月10日 16:40:23 |
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25位 |
しなちくさん |
2004年5月13日 23:32:49 |
26位 |
codraさん |
2004年5月15日 15:59:33 |
27位 |
奥入瀬さん |
2004年5月16日 0:55:37 |
28位 |
2004年5月17日 14:28:38 |
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29位 |
浜田 明巳さん |
2004年5月19日 11:41:22 |
30位 |
2004年5月20日 1:20:39 |
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31位 |
ドルジさん |
2004年5月22日 10:46:30 |