算数問題 算数問題 
２００４年３月１１日〜３月２４日回答は締め切りました。 すべての約数を小さい順に並べると，7番目が10になるような自然数を考えます。1番目は1、7番目は10になります。
今回の問題は、佐藤 広宣さんから提供いただきました。 |
解答
（１） １０を約数に持つことは素因数に２と５が含まれるので２と５が確定 素因数に３を含むと約数に６も必ず含まれる 残りの１つは４，７，９（８を含むためには４も含まれるので不可）のいずれかの３通りの (2,3,4,5,6)(2,3,5,6,7)(2,3,5,6,9) 素因数に３を含まない場合は３，６，９が含まれないことになり 残りの３つは４，７，８の１通りの (2,4,5,7,8) （２） ２０を約数に含むのは２が２つ以上あるということ よって４を約数に含むものは上記の １，２，４，５，７，８，１０・・・・ と １，２，３，４，５，６，１０・・・・ しかし よって 最小の数は ２ｘ２ｘ２ｘ５ｘ７＝２８０ 次に小さいものは さらに２を含むと１６を含むので不可 ２０までの他の素数は含まれないので次に小さいのは５となり ２ｘ２ｘ２ｘ５ｘ５ｘ７＝１４００
皆様からの解法 |
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| 奥入瀬さん （１）10の約数1,2,5,10は必ず含まれることから考えましたが、良い考えも浮かばず、その後は完全に手作業でした。 （２）（１）で求めた4通りをながめれば、10と20の間に約数が1つしかない組み合わせは（1,2,4,5,7,8,10）しかありえない。この組み合わせの最小公倍数280を素因数分解して、2^3×5×7。280が最小となり、2番目は、その5倍の1400。 |
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| y-iさん (1) 約数に10があるのでそれより小さい約数に2,5は必ずある。これより3が約数なら6も約数になり、9が約数なら3,6の2数も約数。この条件から、2番目から6番目として考えられるのは(2,3,4,5,6) (2,3,5,6,7) (2,3,5,6,9)(2,4,5,7,8)の4通り。 (2) 20=2^2*5が約数として現れるので、素因数分解したとき2の累乗の指数が1になる(2,3,5,6,7) (2,3,5,6,9)は不適。(2,3,4,5,6)になる最小の数2^2*3*5=60の約数を並べると7番目に10、8番目に12、9番目に15となるので不適。(2,4,5,7,8)になる最小の数2^3*5*7=280は7番目に10、8番目に14、9番目に20。次に大きい数は280*2=560が考えられるが2^4=16が約数になるのでこれは280*5=1400。 |
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| MEU社長さん まあ10が約数にはいるので、2と5は入ってると考え、 2と5がはいり、2から6番目の約数が2〜9になるすべての場合を抜き出して、存在しないものを消していきました。（9があって3がないとか） (2)は1の答えを素因数分解したとき、10以下の素因数が決まっているので、2,2,5が素因数にはいる数の中で、素因数自身を掛け合わせて、できる数に11〜19の数が1個しか入ってないものを探しました。(2,4,5,7,8)→素因数(2,2,2,5,7) また、2個目は、この数の因数を増やしても上記の条件に合う、因数(5)を探しました。素因数(2,2,2,5,5,7) |
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| tekiさん （１）は、１番目から７番目の約数のうち、１と２と５と１０は確実にあります。 あとの約数の組み合わせは、３がある場合は必ず６があることに注意すると、解答の４つの場合が求められます。 （２）は２０が約数にあることから、（１）の４つの組み合わせのうち、４と５を含むものが候補となりますが、(2,3,4,5,6)の場合は、１０と２０の間に１２と１５が含まれてしまうため、不適となります。 結局、(2,4,5,7,8)パターンしかないのですが、このパターンの最小数は２８０、２番目に小さい数は２８０の倍数ですが、２の４乗＝１６を因数に持つと、（１）の条件に反するため、不適となります。 よって、２８０×５＝１４００が２番目に小さい数です。 |
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| mariさん （１）約数10＝2×5から2，5も約数 残る3，4，6，7，8，9のうち、3つを選ぶ。 3が約数なら、6＝2×3から6も約数。 残る4，7，8，9から１つを選ぶ 8が約数なら4も約数になるから、これを除く。 残る4，7，9から1つを選ぶ。ＯＫ （2，3，4，5，6）、（2，3，5，6，7）、（2，3，5，6，9） 3が約数でなければ、6＝2×3，9＝3×3から、 6，9は約数でない。 残る4，7，8から3つを選ぶ。ＯＫ （2，4，5，7，8） （２）10と20の間に、 （2，3，4，5，6）のＬＣＭ2×3×4×5は12，15を約数に持ち不適。 （2，3，5，6，7）のＬＣＭ2×3×5×7は14，15を約数に持ち不適。 （2，3，5，6，9）のＬＣＭ2×5×3×3は15，18を約数に持ち不適。 （2，4，5，7，8）のＬＣＭ2×2×2×5×7は14を約数に持ちＯＫ 2×2×2×5×7＝280は題意の一番小さい数 倍数2，5・・・をとると、 倍数2は約数2×2×2×2＝16を生むので不適。倍数5はＯＫ 二番目に小さい数＝280×5＝1400 |
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| 算数の森さん （１） １０の約数である、１，２，５，１０は必ず含まれます。 ３を含むかどうかで場合分けします。 （あ）３を含む場合、６（２×３）は必ず含まれます。 残り１つをチェックすると、８以外（４，７，９）が条件を満たします（８は４が含まれてしまうので、だめですね）。 （い）３を含まない場合、当然、３の倍数である６も９も含まれないので、条件を満たす数は１通りに確定します。 （２） ２０を約数に持つので、当然４を約数に持ちます。 （１）の答えのうち（２，３，４，５，６）と（２，４，５，７，８）の場合のみチェックすればいいですね。 （２，３，４，５，６）の場合、３×４＝１２、３×５＝１５が含まれるのでだめですね（１１以上１９以下の約数が１つの場合でないとだめだから）。 結局、（２，４，５，７，８）の場合だけ検討すればいいですね。 この場合、１１以上１９以下の約数は２×７＝１４だけなので、大丈夫ですね。 したがって、最小の数は８×５×７（２，４，５，７，８のＬ．Ｃ．Ｍ． 因みに、２，４は無視できますね）＝２８０となります。 あとは、この倍数をチェックすればいいですね。 ２をかけるのは２×８＝１６が含まれるのでだめですね。３をかけるのは当然だめですね。４をかけるのは、２の場合同様だめですね。５をかけても２０以下の約数が新たに出てくることはないので、２番目に小さい数は２８０×５＝１４００となります。 |
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| tomhさん 10を約数に持つということは、2と5を素因数に 持ちます。求める数をNとすると、 N = 2 x 5^s x P という形になります。Pは11以上の素数の べき乗からなっている部分です。P=1の場合も 含むとします。 Nに小さいほうから順に素数を掛け合わせて いくことで、結局、 (a) N x 2^n x 7^m (n≧2,7≧1) … (2,4,5,7,8) (b) N x 2 x 3 … (2,3,4,5.6) (c) N x 3^n (n≧2) … (2,3,5,6,9) (d) N x 3 x 7^n (7≧1) … (2,3,5,6,7) の4パターンがあることがわかります。 更に20を約数に持つには、2^2x5という因数が 必要となりますが、それを持つのは、(a)と(b)の パターンだけですが、(b)は12と15も約数に 持つので、20が9番目になりません。 よって、この場合、(a)のみが候補で、(P=1として) s=1とs=2のときに小さい解が出て、それぞれ、 280と1400になります。 |
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| ゴンともさん (1)先ず,素因数分解で考える事にする。 約数として7番目に10がある事より素因数2・5はある。・・・・・・  6番目以下を考えるためには7までの素因数を考えれば十分である。 2・3・5・7・・・・・・  でそれぞれの素因数に正の指数をつけて考えるが この時3個の素因数の積は最低でも2・3・5=30より考えなくてよい 2個の素因数の積で10以下のものは2・3=6,2・5=10の2通り より指数のつけ方は より3があれば の形での指数の和が43がなければ の形での指数の和が5これより題意を満たすのは で(但し指数0は1で省略)2＾2・3・5・・・・・・  2・3^2・5・・・・・・  2＾3 ・5・7・・・・・・  2 ・3・5・7・・・・・・  の3種である。題意の解答の表現にして で(2,3,4,5,6)・・・・・・(答え其の一)で(2,3,5,6,9)・・・・・・(答え其の二)で(2,4,5,7,8)・・・・・・(答え其の三)で(2,3,5,6,7)・・・・・・(答え其の四)(2)先ず(1)の答えとなるもので9番目が20より 2＾2・5が含まれるもの答えの候補となる。 ,で題意を満たすかを調べるが10の次はで2＾2・3=12,3・5=15,2＾2・5=20で満たし答えとならずで2・7=14,2＾2・5=20で答えとなりを計算して280 ・・・・・・最小値(答え其の一)その次は の素因数5の所を5＾2としたもので2＾3・5＾2・7=1400・・・・・・2番目に小さい(答え其の二) |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
１位 |
yanさん |
2004年3月11日 23:03:37 |
２位 |
寺脇犬さん |
2004年3月11日 23:32:17 |
３位 |
nobuさん |
2004年3月11日 23:34:16 |
４位 |
はにかみ屋さん |
2004年3月12日 0:54:45 |
５位 |
経友会の進作さん |
2004年3月12日 8:39:34 |
６位 |
奥入瀬さん |
2004年3月12日 14:22:40 |
７位 |
信三さん |
2004年3月12日 18:41:03 |
８位 |
ちずさん |
2004年3月12日 18:43:24 |
９位 |
あさ ★さん |
2004年3月12日 19:03:08 |
１０位 |
y-iさん |
2004年3月12日 22:21:39 |
１１位 |
清川 育男さん |
2004年3月12日 22:33:21 |
１２位 |
2004年3月12日 22:35:15 |
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１３位 |
なにわさん |
2004年3月12日 22:48:54 |
１４位 |
tekiさん |
2004年3月12日 23:15:07 |
１５位 |
フィリピンの鷹さん |
2004年3月13日 0:16:16 |
１６位 |
mariさん |
2004年3月13日 12:07:49 |
１７位 |
2004年3月14日 22:24:10 |
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１８位 |
2004年3月15日 12:11:04 |
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１９位 |
tomhさん |
2004年3月15日 18:35:05 |
２０位 |
受験勉強君さん |
2004年3月15日 23:51:30 |
２１位 |
すてっぷさん |
2004年3月17日 21:30:48 |
２２位 |
ゴンともさん |
2004年3月19日 21:33:14 |
