算数(*^.^*)算数問題  

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2004年2月20日〜3月3日 回答は締め切りました。
第8問 

sannsu8s.GIF

(※図は正確とは限りません。)

角Aが90度,ABが2cm,ACが1cmの直角三角形ABCがあります。

点Pは辺AB上で,Aを出発してBに向かい,点Qは辺BC上で,Bを出発してCに向かいます。(※速度は共に一定です。)

P,Qは同時に出発してPはBに,QはCに同時に到着します。

点QからABへ垂線を引き,ABとの交点をRとします。


3点P,Q,Rを頂点とする三角形と3点A,B,Cを頂点とする三角形が
相似(合同を含む)になるのはAPの長さが何cmになったときでしょうか。

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今回の問題は、佐藤 広宣さんから提供いただきました。

解答
『2/3cm・8/9cm・8/7cm・2cm』

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点Pと点Qが同時にB,Cに到着することから

APとBRの長さは等しい

QRの長さはRBの1/2

まず

1.GIFQR:RP=1:2になる場合を考えると、

AP=PR=RBの時である。

点Pが点RよりA側にある時(図1)

AP=2x1/3=2/3cm

点Pが点RよりB側にある時

点PがBに点RがAに到達した時点となり

AP=2cm(合同)

つぎに

2.GIFQR:RP=2:1になる場合を考えると、

AP:PR:RB=4:1:4の時

このとき点PがAR間にある場合(図2)

AP=2x4/9=8/9cm

点PがRB間にある場合(図3)

AP=2x4/7=8/7cm

sannsu8s2.GIF

sannsu8s3.GIF

sannsu8s4.GIF

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皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

neoさん
QR=hとおくと,AP=2h 比を使って求めました。
y-iさん
(1)PがRよりA側にあるとき QRの長さをaとおくと、三角形CABとQRBは相似なのでRB=2a。またPはBに、QはCに同時につくのでAP=2a。 三角形CABとPRQが相似のとき、PR=a/2。 APの長さをxとおき、比であらわすと 2a:x=(2a+2a+a/2):2 x=8/9。
三角形CABとQRPが相似のとき、PR=2a。 同様に2a:x=(2a+2a+2a):2 x=2/3。
 (2)RがPよりA側にあるとき 三角形CABとPRQが相似のとき、PR=a/2。 2a:x=(2a+2a-a/2):2 x=8/7。
三角形CABとQRPが相似のとき、この二つの三角形は合同となり、AP=2。
MEU社長さん
私は方程式で解きました。(と言っても簡単な式です) 条件より、AP=BRがわかります。  まず1個目△ABC∽△RPQ つまり角QPR=角CBAの場合。 三角形QPBが2等辺三角形だから、AP=PR=RB で、単純に2/3←解1 
2個目△ABC∽△RQP ABの中点がPRの中点になり、これを点Sとする。 APをXとおくと、PS=RS=1-x PRは2倍で、2-2x RQは△ABC∽△RBQより、いつもx/2 PRの2倍がRQになればいいのだから、 2(2-2x)=x/2 X=8/9←解2  
3個目△ABC∽△RQP(P,Rが逆転した後) 上と同様に、PS=RS=x-1 PR=2x-2 RQ=x/2 2(2x-2)=x/2 x=8/7←解3  
さいごは△ABCと△RPQが重なる場合で 2←解4
算数の森さん
できる直角三角形の「縦」の辺と「横」の辺の比が1:2になる場合と、2:1になる場合があり、それぞれの場合に、PがRより右にある場合と左にある場合がありますね。 あとは、比を書き込んで解きました。
奥入瀬さん
Qの速さを、BからAの方向とAからCの方向に分解。 P,Qは同時に出発し、同時に到着するので、 AP=BR、QR=1/2APとなる。
2つの三角形が相似になるのは、
(1)PがRと重なるより前で、PR:QR=2:1のとき QR=1.GIFとすると、AP=PR=BR=2.GIF よってAP=2÷3=2/3
(2)PがRと重なるより前で、PR:QR=1:2のとき PR=1.GIFとすると、QR=2.GIF、AP=BR=4.GIF よってAP=2÷(1+4+4)×4=8/9
(3)PがRと重なった後で、PR:QR=1:2のとき PR=1.GIFとすると、QR=2.GIF、AP=BR=4.GIF よってAP=2÷(4+4−1)×4=8/7
(4)PがRと重なった後で、PR:QR=2:1となるとき このときは、PがBと一致するときなのでAP=2
清川 育男さん
0<t<=2t  P(t,0),R(2-t,0),Q(2-t,t/2)  としました。
経友会の進作さん
先ず縦10センチ、横20センチの三角形を書き じっと睨みました。
A,B,Cの座標を夫々(0,0), (2,0),(0,10)と置きPの移動に伴い、Q、Rの座 標と各点間の長さがどのように変るかを調べ 縦、横が1:2になるようなものを4個出しました。
tomhさん
点Pが頂点Aにいる時刻をt=0、点Pの速さを 2vとします。  
(1) 点Pが点Qより辺ACに近いとき、相似になった 時刻をtとすると、  PR = 2-4vt, QR = vt. PR:QR=2:1より、t=1/(3v). よって、AP=2v x 1/(3v)=2/3 cm.
PR:QR=1:2より、t=4/(9v). よって、AP=2v x 4/(9v)=8/9 cm.
 (2) 点Qが点Pより辺ACに近いとき、相似になった 時刻をtとすると、  PR = 4vt-2, QR = vt. PR:QR=1:2より、t=4/(7v). よって、AP=2v x 4/(7v)=8/7 cm.
PR:QR=2:1より、t=1/v. よって、AP=2v x 1/v=2 cm.
なかさん
AP=x とすると、  PR:QR = |2-2x|:x/2 = |4-4x|:x   PR:QR=1:2のとき   4-4x=2x   → x=2/3   4-4x=-2x  → x=2  PR:QR=2:1のとき   8-8x=x    → x=8/9   8-8x=-x   → x=8/7
はにかみ屋さん
PQRが一直線になる真中の点を基準として 2;1の比率を適当に使って暗算です。
mariさん
△RBGが△ABCと相似であるのは明らか。 RG=1、BR=2とします。 PとQの速度比からAP=BR=2これから、
AB=AP±PR+RB     
  =2±PR+2=4±PR ただし、PがRの左側で+PR,右側で−PR
AP(p)=AB(p)×AP/AB      
     =2×2/(4±PR)=4/(4±PR)
相似の条件PR=2,1/2を代入して、 AP(p)=2/3,8/9,8/7,2(p)
すてっぷさん
AP=2Xとします。
(1)2−4X:X=2:1より,2X=2/3
(2)2−4X:X=1:2より,2X=8/9
(3)4X−2:X=1:2より,2X=8/7
(4)4X−2:X=2:1より,2X=2 となりました。

順位

正解者

到着日時

1位

nobuさん

2004年2月20日 23:05:58

2位

yanさん

2004年2月20日 23:19:51

3位

ちずさん

2004年2月20日 23:34:51

4位

tekiさん

2004年2月20日 23:40:29

5位

MEU社長さん

2004年2月20日 23:41:19

6位

neoさん

2004年2月20日 23:53:32

7位

なにわさん

2004年2月20日 23:56:33

8位

ゴンともさん

2004年2月21日 0:06:22

9位

y-iさん

2004年2月21日 0:10:39

10位

算数の森さん

2004年2月21日 0:25:38

11位

呑(べろべろ一歩前バージョン)さん

2004年2月21日 0:55:56

12位

信三さん

2004年2月21日 2:29:46

13位

小林伸さん

2004年2月21日 2:50:30

14位

奥入瀬さん

2004年2月21日 4:25:29

15位

清川 育男さん

2004年2月21日 8:36:53

16位

経友会の進作さん

2004年2月21日 9:59:45

17位

あさ ★さん

2004年2月21日 10:24:56

18位

tomhさん

2004年2月21日 19:09:33

19位

息子と乙女さん

2004年2月22日 9:24:06

20位

フィリピンの鷹さん

2004年2月23日 0:12:02

21位

のんちさん

2004年2月23日 13:56:13

22位

なかさん

2004年2月25日 5:00:14

23位

ほげさん

2004年2月25日 15:40:55

24位

きょろ文さん

2004年2月25日 18:29:54

25位

みかんさん

2004年2月26日 2:42:43

26位

mps_takaさん

2004年2月26日 8:48:22

27位

はにかみ屋さん

2004年2月26日 22:29:32

28位

mariさん

2004年2月29日 9:00:54

29位

すてっぷさん

2004年3月1日 13:10:24

30位

永弘 世之介さん

2004年3月3日 10:49:55

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