算数問題 算数問題 
２００４年１月３０日～２月１２日 回答は締め切りました。 第７問 りょりょと お友達の花子ちゃんが、５枚のコインを使って遊びを考えました。 はじめ、りょりょが４枚のコインを持ち、花子ちゃんが１枚のコインを持ちます。 ジャンケンをするごとに、りょりょが勝てば、花子ちゃんのコインを１枚もらえ、あいこの場合と、花子ちゃんが勝った場合は、花子ちゃんがりょりょからコインを１枚もらえます。 ５枚のコインすべてとった時、『ゲームに勝った』ことになります。 りょりょがジャンケンに勝つ確率（確からしさ）を１／３とすると、りょりょがゲームに勝つ確率（確からしさ）はいくつでしょう？ これ以上約分できない分数の形でお答えください。
今回の問題は、柿原 伸次さんに協力いただきました。 |
解答
今回は数学的な解法となりました。皆さんは算数で説明できますか？ りょりょが最初に持っているコインの枚数をｎ枚とし（０＜ｎ＜５)、そのときゲームに勝つ確率をＰ（ｎ）とします。 今回はＰ（４）を求めることになります。 はじめに１枚～４枚までのコインを持っていた時のゲームに勝つ確率は次のような関係となります。 手持ちのコインが１枚の時、１／３の確率でコインが２枚になり、２／３の確率で負けが確定します。 つまり、はじめに２枚コインを持っていた時に勝つ確率の１／３倍が、はじめに１枚持っていた時に勝つ確率となります。 Ｐ（１）＝１／３ｘＰ（２） ・・・・・ 手持ちのコインが２枚の時、１／３の確率でコインが３枚になり、２／３の確率でコインが１枚になります。 Ｐ（２）＝１／３ｘＰ（３）＋２／３ｘＰ（１） ・・・・・ 手持ちのコインが３枚の時、１／３の確率でコインが４枚になり、２／３の確率でコインが２枚になります。 Ｐ（３）＝１／３ｘＰ（４）＋２／３ｘＰ（２） ・・・・・ 手持ちのコインが４枚の時、１／３の確率で勝ちが確定し、２／３の確率でコインが３枚になります。 Ｐ（４）＝１／３＋２／３ｘＰ（３） ・・・・・
Ｐ（２）＝３／７ｘＰ（３） ・・・・・
Ｐ（３）＝７／１５ｘＰ（４） ・・・・・
Ｐ（４）＝１５／３１ すべてに当てはめると Ｐ（１）＝１／３１ Ｐ（２）＝３／３１ Ｐ（３）＝７／３１ Ｐ（４）＝１５／３１ はじめ、４枚持っていたりょりょですが、勝つ確率は意外にもわずかに花子ちゃんより少なくなってしまいましたね。
皆様からの解法 |
| tomhさん n枚から勝つ確率 をp(n)とすると、 p(4) = 1/3 +(2/3)p(3), p(3) = (1/3)p(4)+(2/3)p(2), p(2) = (1/3)p(3) +(2/3)p(1), p(1) = (1/3)p(2) という連立方程式が成り立つので、これらを解いて、 p(1)=1/31, p(2)=3/31, p(3)=7/31, p(4)=15/31 となりました。 |
| 清川 育男さん フィボナッチの奇数項を掛けて、循環するまで、、、。 1/3+∑(2^I/3^(2*I+1))*G(I) |
| 寺脇犬さん １，１、２，５、１３、３４、８９、の一般項から 求めました |
| 算数の森さん りょりょちゃんがｎ枚からスタートして、花ちゃんが０枚となる確率をＰ（ｎ）とすると、 Ｐ（ｎ）＝１/３×Ｐ（ｎ＋１）＋２/３×Ｐ（ｎ－１）・・・  Ｐ（０）＝０・・・  Ｐ（５）＝１・・・  これを解きます。 は次の２通りに変形できます。 Ｐ（ｎ＋１）－２Ｐ（ｎ）＝Ｐ（ｎ）－２Ｐ（ｎ－１）・・・  Ｐ（ｎ＋１）－Ｐ（ｎ）＝２｛Ｐ（ｎ）－Ｐ（ｎ－１）｝・・・  、より Ｐ（ｎ＋１）－２Ｐ（ｎ）＝Ｐ（１）－２Ｐ（０） Ｐ（ｎ＋１）－２Ｐ（ｎ）＝Ｐ（１）・・・  、よりＰ（ｎ＋１）－Ｐ（ｎ）＝２^n｛Ｐ（１）－Ｐ（０）｝ Ｐ（ｎ＋１）－Ｐ（ｎ）＝２^nＰ（１）・・・  －より Ｐ（ｎ）＝（２＾ｎ－１）Ｐ（１）・・・  で、ｎ＝５とし、を使うと Ｐ（５）＝（２＾５－１）Ｐ（１） Ｐ（１）＝１/３１ 求める確率はＰ（４）だから、 でｎ＝４とすると Ｐ（４）＝（２＾４－１）Ｐ（１） ＝１５/３１ |
| y-iさん (1)りょりょさんが1回目で勝って終わる確率 1/3 (2) (1)以外でりょりょさんが勝つとき、コインを3枚持っ ている状態から2回連続して取ればよい。 その場合の数は1,2,5,13,34…(りょりょさんがじゃんけんに勝った回数2回、3回、4回…)確率は、 (1/9)*{1*(1/3)^0(2/3)^1+2*(1/3)^1(2/3)^2+ …} (3) 花子ちゃんが勝つとき、その場合の数1,3,8,21,55…(りょりょさんがじゃんけんに勝った回数0回、1回、2回…)確率は、 (4/9)*{1*(1/3)^0(2/3)^2+3*(1/3)^1(2/3)^3+ …} =(8/27)*{1*(1/3)^0(2/3)^1+3*(1/3)^1(2/3)^2+ …} (2)、(3)の場合の数は、初項=第2項=1のフィボナッチ数列が交互に現れている。 (2)、(3)の中括弧内の和の極限値をそれぞれx,yとすると、 x+y={2*(1/3)^0(2/3)^1+5*(1/3)^1(2/3)^2+ …} =(x-2/3)*3*3/2 じゃんけんを繰り返すと勝負がつかない確率は限りなく0に近づくので、 x*(1/9)+y*(8/27)=2/3 この連立方程式を解くとx=42/31,y=54/31。 りょりょさんが勝つ確率は1/3+14/93=15/31。 |
| 信三さん P(4) = 1/3 + P(3)*2/3, P(3) = P(4)*1/3 + P(2)*2/3, P(2) = P(3)*1/3 + P(1)*2/3, P(1) = P(2)*1/3 これを解いて、P(4) = 15/31 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
１位 |
佐藤 広宣さん |
2004年1月30日 22:27:38 |
２位 |
yanさん |
2004年1月30日 22:56:02 |
３位 |
nobuさん |
2004年1月30日 23:45:19 |
４位 |
すてっぷさん |
2004年1月31日 9:09:00 |
５位 |
tomhさん |
2004年1月31日 18:19:39 |
６位 |
2004年1月31日 23:34:35 |
|
７位 |
清川 育男さん |
2004年2月1日 4:44:52 |
８位 |
寺脇犬さん |
2004年2月1日 11:08:06 |
９位 |
2004年2月2日 18:36:16 |
|
１０位 |
2004年2月2日 19:40:37 |
|
１１位 |
経友会の進作さん |
2004年2月4日 17:47:01 |
１２位 |
y-iさん |
2004年2月7日 9:31:52 |
１３位 |
奥入瀬さん |
2004年2月8日 12:21:34 |
１４位 |
信三さん |
2004年2月9日 8:52:06 |
１５位 |
oguchan1さん |
2004年2月10日 0:34:17 |
