schol010.gif算数問題　　

item068.gif

２００４年１月６日〜1月１９日　回答は締め切りました。

第６問　

（１）

下の図の四角形は２つとも正方形です。

色を付けた部分の面積が２００４cm^2です。

１辺の長さがともに整数になるとすると、何通りの組み合わせが考えられますか？

2004-2.GIF

（２）

下の図形は中心が同じ円に内接する２つの正十二角形です。

半径の差が２cmで、色を付けた部分の面積が２００４cm^2のとき、小さい方の半径を求めなさい。

2004.GIF

正解者の掲示板への入室方法がわからない方はメールまたは一般掲示板でお知らせください。

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今回の問題は、呑さんから提供いただきました。

解答
（１）２通り（２）１６６ｃｍ

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呑さんの解法

（１）

○ｘ○−△ｘ△の答えは、右の図のように、一辺が○の正方形と一辺が△の正方形の差（色の付いた部分の面積）で表すことができます。

アの長方形は、縦が○−△で、横が○だから、

その面積は（○−△）ｘ○。

イの長方形は、縦が△で、横が○−△だから、

その面積は（○−△）ｘ△。

ア＋イ＝（○−△）ｘ（○＋△）となります。

○ｘ○−△ｘ△＝（○−△）ｘ（○＋△）

（中学数学じゃ因数分解になりますが、算数ではこのように説明します。）

辺の長さが整数なので、２００４を２つの整数の積で表すと		 kaitou6.GIF

１

２

３

４

６

１２

→○−△

２００４＝

ｘ

ｘ

ｘ

ｘ

ｘ

ｘ

２００４

１００２

６６８

５０１

３３４

１６７

→○＋△

２つの整数は、差が偶数なら和も偶数。差が奇数ならば和も奇数。

そうなっているのは（２，１００２）と（６，３３４）の２通り。

お答えは２通りなのね。

また、そのときのそれぞれの辺は（５００、５０２）と（１６４、１７０）になります。

（２）

正十二角形の面積は12個の二等辺三角形の和として求めます。

二等辺三角形の等辺（＝外接円の半径）を○cmとすると、

底辺○ｃｍ、高さ○ｘ１／２の三角形とかんがえられるので、

その面積は○ｘ○ｘ１／２÷２＝○ｘ○ｘ１／４（cm^2）

正十二角形の面積は○ｘ○ｘ３（cm^2）

外の半径を○cm、内側の半径を△cmとすると、

色の付いた部分の面積は（○ｘ○−△ｘ△）ｘ３で表せます。

（○ｘ○−△ｘ△）ｘ３＝２００４より　○ｘ○−△ｘ△＝６６８

（１）と同様に　○ｘ○−△ｘ△＝（○−△）ｘ（○＋△）

○−△＝２から、○＋△＝３３４。

○＝１６８、△＝１６６となり、答えは１６６cmなのね。

2004-3.GIF

2004-4.GIF

item068.gif

皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。
neoさん
(1)2004=2*2*3*167 (a+b)(a-b)=2004=1002*2=334*6の2通り  
(2)(x+2)(x+2)/4-x*x/4=2004/12     x=166
にいにいさん
(1)　x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2004を満たす整数x,yは500,504と164,170  
(2)　3(x+2)^2-3x^2=2004  x=166  
中島　謙さん
(1)大きい正方形の１辺の長さをａとし小さい正方形の１辺の長さをｂとする。
ａ×ａ−ｂ×ｂ＝2004である。2004＝2×2×3×167 また、ａ×ａ−ｂ×ｂ＝（ａ+ｂ）×（ａ−ｂ）より （ａ+ｂ）×（ａ−ｂ）＝2×2×3×167が成立する。
そのような組み合わせは、 （ａ＋ｂ，ａ−ｂ）＝（2004，1）（1002，2）（668，3）（501，4）（334，6）（167，12）の６通り考えられるが、ａ，ｂとも整数になる組み合わせは、ａ＋ｂ，ａ−ｂが供に偶数のときで、（1002，2）と（334，6）の２組である。
そのとき（ａ，ｂ）＝（502，500）（170，164）である。
（２）１２分割した三角形について考えると、小さいほうの半径をｒとして、その三角形は、頂点の角度が３０度で辺の長さがｒの２等辺三角形である。
低角の１つより対辺に垂線を引くと、それが高さと考えられ、その長さは、正三角形を半分にしたときを考えて、ｒ/2である。よって、小さいほうの三角形の面積は　ｒ×ｒ/2÷2＝ｒ＾2/4 同様に大きい三角形の面積は、１辺がｒ+2であるから （ｒ+2）＾2/4である。
よって、 （ｒ+2）＾2/4−ｒ＾2/4＝2004/12　　ｒ＝166　となる。
ゴンともさん
(1)先ず、大きい正方形の一辺をＸ、小さい方をYとして
Ｘ^2-Ｙ^2=(X-Y)(X+Y)=2004=2^2・3・167=A・B（ここでA,Bは整数とした。A＜B）
X-Y=A・・・・・・1.GIF
X+Y=B・・・・・・2.GIF
1.GIF+2.GIF:X=(A+B)/2・・・・・・3.GIF
2.GIF-1.GIF:Y=(B-A)/2・・・・・・4.GIF
ここで題意でX,Yが整数よりA+B,B-Aはともに偶数でなければならない。
このためにA,Bの偶奇は2004=2^2・3・167=A・B（=奇・奇とはならない）と上より
(A,B)=(偶,偶)
これを満たす｛A,B｝を数える
｛2,2・3・167｝  1通り・・・・・・5.GIF
｛2・3,2・167｝  1通り・・・・・・6.GIF
より5.GIF+6.GIF=2通り・・・・・・（答え）
(2)先ず、小さい方の円の半径をXとして題意より
1/2(Ｘ+2)^2sin30゜-1/2Ｘ^2sin30゜=2004/12=（2^2・3・167）/（2^2・3)=167
｛(Ｘ+2)^2-Ｘ^2｝/4=(4X+4)/4=X+1=167
∴X=167-1=166・・・・・・（答え）
寺脇犬さん
問１　大きい方の正方形の一辺の長さを　M　 小さい方を　N　とすると 2004=M^2-N^2=(M+N)(M-N)が成立する。
MとNは整数だから　（M+N)と（M-N)はともに奇数であるか偶数である。
今これらの積は２００４であるから　共に 偶数である。 　
ところで　　２００４は　２＊２＊３＊１６７に素因数 分解されるから　可能な組み合わせは １００２＊２、　６６８＊３、　５０１＊４、 ３３４＊６、　　１６７＊１２、の５通りだが ともに偶数は（１００２，２）、　（３３４、６）だから 該当する組み合わせは　２通りなのね。
因みに　　（M+N)(M-N)=（１００２，２）のとき 　　　　（M,N)=（５０２，５００） 　　　　　　　M+N)(M-N)＝（３３４，６）のとき 　　　　（M,N)=(170,164)
問２　小さいほうの正十二角形を　３０°７５°７５°の 　２等辺三角形　１２個に分ける　そしてその２等辺の 　一辺を　ａとする。
次にその分割した三角形に　３０°６０°９０°の辺の 関係（２，１、√３）を利用して面積を求めるとａ＾２/ ４となるから 其の正十二角形の面積は　ａ＾2 /４　＊１２＝３ａ＾2 次に　題意より 3(a+2)(a+2)-3a^2=2004　が成立する。
これを解いて　　a=166なのよね。
tekiさん
（１）　大きい正方形の１辺をａ、小さい正方形の１辺をｂとすると、
　　　２００４＝ａ＾2-ｂ＾2＝（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）となります。
　　　ａ+ｂ、ａ-ｂの偶奇性は一致するので、２００４を２つの偶数の積で
　　　表す方法を考えればいいことになります。
　　　２００４＝２×２×３×１６７ですので、これを２つの偶数の積で表す
　　　には、２００４＝２×１００２、２００４＝６×３３４の２とおりしかありま
　　　せん。
　　　それぞれの場合の正方形の１辺は、（５０２、５００）、（１７０、１６４）
　　　ですね。
（２）　正十二角形を１２個の二等辺三角形に分割したとき、その頂角は
　　　３０度となります。
　　　　頂角３０度の二等辺三角形の面積は、等辺の長さをLとすると、模範
　　　解答にもあるとおり、正三角形の半分の三角形を利用すれば、
　　　L×1/2L×1/2＝1/4×L×Lとなります。
　　　L=L+2とすると、面積は、1/4L×L+L+1　となるので、２つの二等辺
　　三角形の面積の差は、L+1となります。
　　　正十二角形の面積はこの１２倍ですので、２００４＝１２×（L+１）
　　　２００４＝１２×１６７　より　L=１６６　となります。
ほげさん
偶数２つに気がつくかどうかというのが(1)のミソで しょうか。
フィリピンの鷹さん
２番は、正１２角形の面積は半径ｘ半径ｘ３ であることから解きました。
息子と乙女さん
(1)     (x+y)(x-y)=2004 をもとに算定　x.y正方形の一辺長さ
(2)     30度の２等辺３角形の面積×１２をもとに算定  
tomhさん
(1)は、(a+b)(a-b) = 2004から、2004の約数の組(6組)を
当てはめていって解きました。
(2)は、半径rの円に内接する正十二角形の面積が、3r^2なので、
3(r+2)^2-3r^2=2004を解きました。
あ〜くさん
(1)一辺の長さを各々a,b（a<b)とすると、    2004=(b-a)(b+a)、ここ
でa,b整数より,    b-a,b+aともに偶数でなければならない。    従っ
て、2004/4=501の（約数の個数/2）が求める場合の数    よって、
501=3・167より、{(1+1)^2}/2=2（通り）■  (2)小さい方の正12角形が
半径aの円に内接するとすれば、    2004=(a/2*2+1)*12（括弧内は斜線
部を12等分したもの    つまり整理すればa=166 ■  微妙に数学っぽく
記号を用いてしまいました（＾＾；）
佐藤 広宣さん
１）は因数分解 （２）は頂角30°の二等辺三角形の面積の差から求めました。

CRYING DOLPHINさん
(１)１から順に奇数ｎ個を足す、すなわち １＋３＋５＋７＋…＋(２ｎ−１)＝ｎ ×ｎ であることがよく知られているので、これを利用する。
（奇数列の和が平方数になるのを小学生に説明するときには、図のようにして色違いの奇数個のタイルを敷き詰めることで理解させています。）
今回は、連続する奇数の和で2004を表すという、 前回の類題と考えることができる。
『問題ではｎ＾２−ｍ＾２＝２００４におけるｎとｍの組合せをもとめるもので、これは１から順に奇数をｎ個を足したものから、１から順に奇数をｍ個を足したものを引いたものつまり、１から数えてｍ＋１個目からｎ個目までの連続する奇数の和と同じなる。』
 2004は偶数なので、足す奇数の個数は偶数であることに 注意すると、
『奇数を奇数個足すと奇数になってしまい不可』
1002×2＝1001＋1003 　501×4→× 　334×6＝329＋331＋333＋335＋337＋339   167×12→× 　12×167以降は明らかに× 以上の２通り。
『連続する奇数が偶数個の場合はそれらの平均は偶数になり、偶数同士の組み合わせを見つければいい。』

一部補足を入れさせていただきました。

tiles.gif

(２)正十二角形を十二等分すると、３つの角が30-75-75の二等辺三角形ができる。
この問題でも同様に分割して考える。
分割後の色付の部分の面積は2004÷12＝167cm^2。
色付部分に、等しい２辺の長さが２cmで、３つの角が30-75-75の二等辺三角形を１つくっつけると、底辺２cmの平行四辺形ができる。
その面積は、 167＋2×1÷2＝168cm。
よって高さは84cm。
これは 大きいほうの二等辺三角形の高さに他ならない。
したがって答えは84×2−2＝166cm。		 C-D.GIF
すてっぷさん
無造作に因数分解してしまいました。
mariさん
１）2*2*3*167を2つの積に分けます。 3の項は（1，3）の奇数ずつに
分けるしかなく、 167の項も（1，167）の奇数ずつに分けるしかありま
せん。 そして、 2の項は、（2，2）の分け方はよいけど、（1，4）に
分けると奇数と偶数の分け方なので、差と和の奇遇が不一致で 答えが
整数にならす不適です。 したがって、（2，1，1）（2，3，167）と
（差が2和が1002と） （2，3，1）（2，1，167） （差が6和が344）の
２通りです。 （２）(r+2)^2/4-r^2/4=ｒ+1=2004/12=167
奥入瀬さん
（１）
(x+y)(x-y)=2004を自然数の範囲で解きました。
（２）
1/2*sin30*(x+2)^2-1/2sin30*x^2=167を解きました。

順位

正解者

到着日時

１位

nobuさん

2004年1月6日 22:17:01

２位

清川　育男さん

2004年1月6日 22:17:23

３位

ちずさん

2004年1月6日 22:21:39

４位

neoさん

2004年1月6日 22:26:49

５位

yanさん

2004年1月6日 22:31:04

６位

にいにいさん

2004年1月6日 22:40:21

７位

はにかみ屋さん

2004年1月6日 23:02:26

８位

さささん

2004年1月6日 23:03:07

９位

えろじじいさん

2004年1月6日 23:23:51

１０位

算数の森さん

2004年1月6日 23:35:17

１１位

みかんさん

2004年1月7日  0:03:01

１２位

なにわさん

2004年1月7日  0:16:46

１３位

kwanchさん

2004年1月7日  1:56:30

１４位

経友会の進作さん

2004年1月7日  9:58:14

１５位

中島　謙さん

2004年1月7日 11:08:12

１６位

柿原　伸次さん

2004年1月7日 12:03:24

１７位

tekiさん

2004年1月7日 13:03:37

１８位

永弘 世之介さん

2004年1月7日 15:54:51

１９位

oguchan1さん

2004年1月7日 20:18:18

２０位

ゴンともさん

2004年1月7日 21:40:05

２１位

寺脇　犬さん

2004年1月7日 21:41:45

２２位

なかさん

2004年1月7日 23:14:25

２３位

ほげさん

2004年1月8日  1:25:29

２４位

フィリピンの鷹さん

2004年1月8日  2:01:31

２５位

信三さん

2004年1月8日  3:31:05

２６位

p-太郎さん

2004年1月8日 13:23:42

２７位

息子と乙女さん

2004年1月8日 16:28:51

２８位

tomhさん

2004年1月8日 18:12:35

２９位

あ〜くさん

2004年1月8日 19:04:11

３０位

佐藤 広宣さん

2004年1月8日 22:45:14

３１位

出合小担任　堀さん

2004年1月9日  8:06:50

３２位

浮浪さん

2004年1月10日 17:40:24

３３位

CRYING DOLPHINさん

2004年1月12日 21:52:43

３４位

すてっぷさん

2004年1月13日 22:11:38

３５位

mariさん

2004年1月15日 17:28:53

３６位

y-iさん

2004年1月16日 0:35:09

３７位

奥入瀬さん

2004年1月17日 23:26:39

３８位

きょろ文さん

2004年1月19日 22:50:31

３９位

小林伸さん

2004年1月20日 3:15:01

４０位

木下伸さん

2004年1月20日 3:17:27

anime176.gif
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