算数問題 算数問題 
２００３年１２月２３日 回答は締め切りました。 第５問 （１） （２） 例：１００の場合 １８＋１９＋２０＋２１＋２２＝１００ ９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＝１００ の２通り 正解者の掲示板への入室方法がわからない方はメールまたは一般掲示板でお知らせください。
問題作成において、tekiさんにご協力いただきました。 |
解答
このとき、●＋■が奇数の場合、■−●＋１は偶数となります。 また、●＋■が偶数の場合、■−●＋１は奇数となります。 つまり、 （●＋■）と（■−●＋１）のどちらかが奇数でなくてはなりません。 また、●は１以上なので （●＋■）＞（■−●＋１） となります。 そこで（１）の場合 ２つの整数の積の形で６６１５の２倍の１３２３０を作ればいいわけです。 １３２３０＝２ｘ３ｘ３ｘ３ｘ５ｘ７ｘ７ ですから、これらの数字を二つのグループに分けて何通りの組み合わせが出来るかを調べます。 このときできたグループの内、大きい方が（●＋■）に、小さい方が（■−●＋１）となります。 また、１３２３０のなかには偶数をつくる２が１つしか含まれないので、そのまま２つのグループに分けても必ず偶数グループと奇数グループとに分かれます。 （□）ｘ（□ｘ□ｘ□ｘ□ｘ□ｘ□）の分け方４通り （□ｘ□）ｘ（□ｘ□ｘ□ｘ□ｘ□）の分け方８通り （□ｘ□ｘ□）ｘ（□ｘ□ｘ□ｘ□）の分け方１１通り あわせて４＋８＋１１＝２３通り そのうち一つだけ例にとってみると （２ｘ３）ｘ（３ｘ３ｘ５ｘ７ｘ７）＝６ｘ２２０５ ●＋■＝２２０５ ■−●＋１＝６ ●＝１１００ ■＝１１０５ １１００＋１１０１＋１１０２＋１１０３＋１１０４＋１１０５＝６６１５ はじめの数と終わりの数の表です。
次に（２）の場合は ６１４４を２つの整数の積で表しますが、どちらかが奇数でなくてはいけないので （ ３ ）ｘ（２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２） の１通り １０２３＋１０２４＋１０２５＝３０７２ これは結局、１以外の奇数の約数の個数を求めればよかったわけですね。 約数の個数の求め方を知っていればなお楽が出来ます。 各奇数の素因数の個数にそれぞれ１を足して掛け合わせれば奇数の約数の個数は求められます。 （１）の問題では３が３個、５が１個、７が２個なので （３＋１）ｘ（１＋１）ｘ（２＋１）＝２４・・・奇数の約数の個数 そこから １ の分を引くので２３個・・・ （１）の答え
皆様からの解法 |
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| nobuさん 因数分解して・・ |
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| CRYING DOLPHINさん 奇数の約数の個数に着目する、ということを知っていれば簡単な？問題だと思います。（そのことは掲示板を見てから思い出しましたが） この問題のミニ変形版も中学入試などで見たことあります。例としては… ・「自然数」でなく「０以上の整数」とした引っかけ ・３通りに表すことのできる整数で最小のものは？ ・連続和で表せない整数の列挙 など… |
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| なにわさん エクセルのお世話になりました。 |
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| y-iさん 連続した数の最初をa、最後をbとすると、求める和の2倍は(a+b)*(b-a+1)。この場合、b-a+1>=2、a+b>b-a+1。 a,bの偶奇性にかかわらずa+b,b-a+1の偶奇性は異なるので、和の2倍を偶数*奇数の2数の積で表す場合の数を求める。 (1)6615*2=2 *3^3 *5 *7^2 3^3* 5* 7^2の2数の積での表し方は、2をかけて偶数にする方を区別して(3+1)*(1+1)*(2+1)=24通り。これから、 (2*3^3*5*7^2)*1になる場合を除き、23通り。 (2)3072*2=2^11 *3 偶数*奇数で表されるのはこの1通りだけ。このとき、 1023+1024+1025=3072 |
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| ziziさん エクセルさんに任せました。 二個だと１引いて２で割切れる、三個だと３引いて３で割り切れる、四個だと６引いて４で割り切れるのが当たり〜という具合です。当たりの数を数えました。 |
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| 信三さん Ｎ個がＯＫかどうかを知るのに、１からＮまで足した和を、６６１５から引いて、結果が、Ｎで割り切れるかを、２から１１５までのＮについてコンピュータにやらせました。 コンピュータに手抜きをさせる気はないのですが、その後、旨い（おいしい？）方法を見つけましたので、紹介します。 まず、M＝６６１５ー１から始めます。Mー２を新しいMとし、６６１２が２で割れるので、発見個数（Ｎ）が１となります。次にそのMー３＝６６０９が３で割れるので、Ｎ＝２。次のMー４＝６６０５は４で割れません。次のMー５＝６６００は５で割れますので，Ｎ＝３。 このようにして次々にMを更新しながらその時の数で割れるかどうかを調べ、Mが負になるまで続行し、ＯＫの数を総計します。 |
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| フィリピンの鷹さん Ｎ個連続した数の和とした場合、 Ｎは６６１５の約数及びその２倍の数 但し、１を除き ６６１５をＮで割った 数がＮ／２より大きい場合、ですね。 |
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| 寺脇 犬さん まず約数を求めます。 正の整数Aの素因数分解を A=P^α・Q^β・・・R^γとすれば Aの約数の個数は （1＋α）・（１＋β）・・・（１＋γ）個 但し１及びA自身も約数と考えるものとする。 （この証明は略します） ６６１５＝３＾３・５＾１・７＾２から その約数の個数は ４×２×３で ２４個 その２４個はすべて３，５，７、の奇数の素因数からで きているので全部奇数です。 次に、 一般に整数Aが奇数の約数を持つとき A=（２P＋１）・Rと表せる。（Pは整数とする） そして Rを真ん中にして連続数が作れる つまりRを真ん中にして Sを最小数、 Lを最大数とすれば A=S＋（S−１）＋（S−２）＋・・・R+・・・＋（L-1)+L これを（１）とする この式は ど真ん中のRの左に P個 右にP個 それにど真ん中のRである１個の 合計（２P+1)個の数が並んでいるってことです． もしもSがマイナスならば S+(S-1)＋（S-２）＋・・＋０＋・・＋（−S−１）＋（−S)=0 より （これを（２）とする） （１）−（２）＝A-0＝A すなわち （−S＋１）＋（ーS＋２）＋・・＋（L-1)+L＝A これを （３）とする よってこれも正の整数だけで作った連続数の和ですね ところで （１）の形で作った連続数の和は 左右対称にど真ん中の１個足すから当然奇数個ですね （３）の場合だと（１）の奇数個から（２）の奇数個を 引いているからこの場合は偶数個の連続数の和となる 以上から１個の奇数の約数から必ず（１）か（３）の 形の１通りの連続数の和が得られる 逆に１通りの連続数が与えられると それは上の （１）か（３）のどちらかの形になる （１）なら奇数個よりセンターの数が１個存在してそれに 対応して奇数が１個決定する （３）なら偶数個だから（２）の奇数個を作って（１）の マイナスからはじまる奇数個の和を作る、このとき センターの数が１個存在してそれに対応して他の別の 奇数が１個決定する。ということで 奇数の約数（但し １は除く）と正の連続数の和は１対１に対応するから その個数は一致する。 １を除くのは 奇数の約数が １だとある整数は１個になって連続しないからです。 以上から ある整数を連続した整数の和で表す方法は その整数の奇数の約数の個数引く１通りある。 したがって 問１の答えは ２４−１＝２３ で２３個 次に問２の３０７２ですが これは ３０７２＝２＾１０・３＾１だから 約数の１を除くと奇数の約数は３だけだから １個ですね |
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| yanさん １．６６１５＝３＾３×５＾１×７＾２ と表せます。 また、連続した数の和は、数字の個数×平均となります。 （１） 数を奇数個に分ける場合 平均の値は、自然数になります。 はじめの数が１の場合（実際にはありえませんが）は、数字の個数２ｍ＋１とすると平均はｍ＋１ （２ｍ＋１）×（ｍ＋１）＝６６１５ はじめの数は１以上なので、これから、ｍは５７以上ということになります。 そこで、６６１５の５７以上の約数を数えます。 １２個 （ただし、３＾３×５＾１×７＾２は、連続した数の和になりませんので除きます） （２） 数を偶数個に分ける場合 平均の値は、小数部が０．５になります。 はじめの数が１の場合（これも実際にはありえませんが）は、数字の個数２ｍとすると平均は（２ｍ＋１）／２ ２ｍ×（２ｍ＋１）／２＝６６１５ はじめの数は１以上なので、これから、ｍは５８以上平均の２倍は(２m＋１)は１１７以上ということになります。 そこで、６６１５の１１７以上の約数を数えます。 １１個 ２．３０７２＝３×２＾１０ （１） 数を奇数個に分ける場合 ３つにしかわけることができません。 （１０２３＋１０２４＋１０２５） １個 （２） 数を偶数個に分ける場合 平均は、（２×３＋１)／２＝３．５となり、このとき、はじめの数は自然数になりません。 |
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| あ〜くさん まず奇数個（2m+1個、真ん中の数をn）の連続数で表される数字は(2m+1)・n（n>m） 偶数個だと（2m個、真ん中の方はn,n+1）(2n+1)m （n>m-1）と書けるため、少なくとも与えられた自然数は2*(何らかの平方数）より大きいときに連続数で表現できる。 (1)6615=3^3・5^1・7^2、2・58^2>6615>2・57^2であり、57より大きい6615の約数は63であるので、真ん中（の方）の数は63・105・135・・・・2205、計12個があげられる。 また、偶数個で表される場合は、大小が決まっているので、１通りに決まり、奇数個で表される場合も同じである。（何故なら奇数＊奇数であるので） （63と105では重複するが、１：１で考えれば重複はなくなる） ただし、[6615/2]=3307と3308の二個でも表現可能。 従って、求める場合の数は、11*2+1＝23(個） (2)3072=2^10・3^1、2・40^2>3072>2・39^2であり、39より大きい3072の約数は48であるのが、２個以上の連続数で表現可能な数は（奇数）＊（自然数）又は（偶数）*（自然数/2）で表されなければならないので、それを満たすのは、3＊1024のみ。 従って、求める場合の数は１個。 |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
１位 |
2003年12月23日12:07:29 |
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２位 |
nobuさん |
2003年12月23日12:47:53 |
３位 |
neoさん |
2003年12月23日13:03:08 |
４位 |
清川 育男さん |
2003年12月23日13:16:01 |
５位 |
miyaさん |
2003年12月23日13:32:27 |
６位 |
ちずさん |
2003年12月23日14:07:40 |
７位 |
佐藤 広宣さん |
2003年12月23日15:26:07 |
８位 |
2003年12月23日15:58:54 |
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９位 |
2003年12月23日16:27:42 |
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１０位 |
yanさん |
2003年12月23日17:12:12 |
１１位 |
信三さん |
2003年12月23日18:03:38 |
１２位 |
みかんさん |
2003年12月23日19:09:24 |
１３位 |
なにわさん |
2003年12月23日19:14:04 |
１４位 |
はにかみ屋さん |
2003年12月23日22:43:58 |
１５位 |
2003年12月23日23:50 |
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１６位 |
経友会の進作さん |
2003年12月24日11:20:09 |
１７位 |
2003年12月24日23:27:21 |
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１８位 |
y-iさん |
2003年12月25日00:08:57 |
１９位 |
tomhさん |
2003年12月25日18:52:02 |
２０位 |
ziziさん |
2003年12月25日20:46:24 |
２１位 |
ゴンともさん |
2003年12月25日20:53:03 |
２２位 |
すてっぷさん |
2003年12月27日13:14:32 |
２３位 |
フィリピンの鷹さん |
2003年12月28日21:51:46 |
２４位 |
寺脇 犬さん |
2003年12月29日 1:29:46 |
２５位 |
永弘 世之介さん |
2003年12月29日22:28:44 |
２６位 |
あ〜くさん |
2003年12月30日19:58:36 |
