schol010.gif算数問題  

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2003年11月2日   回答は締め切りました。

第3問 

りょりょの学校で10個のスタンプを集める『スタンプラリー』が行われます。
ポイントがA,B,C,D,E,F,G,Hの8箇所あり、各ポイントを通ると必ず1個スタンプがもらえます。
それぞれのポイントから次に行くことのできるポイントは3箇所で、下に示すポイントにしか行けません。

から行けるポイント→ B,D,E
から行けるポイント→ A,C,F
から行けるポイント→ B,D,G
から行けるポイント→ A,C,H
から行けるポイント→ A,F,H
から行けるポイント→ B,E,G
から行けるポイント→ C,F,H
から行けるポイント→ D,E,G

ポイントからスタートして10個のスタンプを集めるとき
(はじめにのスタンプを押してもらいます。)

(1)

最後にのスタンプを押してもらって終わるには何通りの集め方がありますか?

同じポイントを何度通ってもかまいませんが、他のポイントに行かずに、同じポイントのスタンプを連続してもらうことはできません。(例 ・・→A→A→B→・・はダメ)
また、1度も通らないポイントがあっても
かまいません

集め方の例 
→B→C→D→H→E→F→E→F→
→B→F→G→F→G→F→G→F→
(2) 最後にのスタンプを押してもらって終わるには何通りの集め方がありますか?

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問題作成において、tekiさんにご協力いただきました。

解答
(1)4920通り(2)0通り

各ポイントの関係を図で表すと、それぞれのポイントを頂点とする立方体の形になります。

立方体の各辺を行き来することができるわけです。

2番目のスタンプをもらうにはAの隣の頂点B,D,Eの3箇所にそれぞれ1通りの行き方があります。

3番目のスタンプはA,C,F,Hの4箇所となり
AはB+D+Eの3通り
C,F,HはそれぞれB+D,B+E,D+Eの2通りずつ。

4番目のスタンプはB,D,E,Gの4箇所となり
GはC+F+Hの6通り
B,D,EはそれぞれAの3とC+F,C+H,F+Hからの7通りずつ。

つまり、一つ前のそれぞれ来ることのできる道筋のそれまでの場合の数を足していきます。

この操作を繰り返すことになります。

表にすると
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2番目 3番目 4番目 5番目 6番目 7番目 8番目 9番目 10番目
B1 A3 G6 A21 G60 A183 G546 A1641 G4920
D1 C2 B7 C20 B61 C182 B547 C1640 B4921
E1 F2 D7 F20 D61 F182 D547 F1640 D4921
H2 E7 H20 E61 H182 E547 H1640 E4921

表からもわかるように10番目にはありません。
つまり、最後にのスタンプをもらうことはできないのです。

ちょっと意地悪な問題でしたね。

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皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

neoさん
5番目まで樹形図。あとはリサイクル。
CRYING DOLPHINさん
中学入試でよく見られる、道順の場合の数ですね。 立方体ABCD-EFGHにおいて隣の頂点に移動する問題 と同値です。  後は、1秒ごとにどの頂点に行く方法が何通りかを 地道に記入していきました。 計算は難しくないので機械的に数えられます。 図がないので表現できませんが。  (2)については、A・C・F・Hの頂点を黒く塗り、 B・D・E・Gの頂点を白く塗っておくと、奇数番目は 黒頂点、偶数番目は白頂点にしか行けないことから 答えは0通り、となるずるい説明法もあります。
信三さん
分点を8角形の頂点に配置して条件に合う通路を書き込んできれいな対称図形を得ましたが、規則性を活用する方法が見つからず、結局、Cでプログラムを書きました。各頂点に付き2行、全部で20行ほどの他に、通路条件設定が付きます。各頂点からの通路の数は自由、一方通行の設定も自由です。  
ほげさん
なかさんがおっっしゃっているように 漸化式を利用すると 各頂点の数値が ガウス(3^n/4) または ガウス(3^n/4)±1になることが わかります。
みかんさん
道路の交点にそこまでの道順が何通りあるかを書き次々に足し合わせていくという、中学受験の塾では必ずやる方法。数学的にやろうとすると結構面倒なようです。
フィリピンの鷹
ACFH組とBDGE組が交互に来るんですね。 あと、Aは+1 Gは−1 になるようなので、 9番目がC,F,Hになればいいことより、 3の8乗 を4で割って、 A=1641 C、F、H=それぞれ1640 と推測して、CFHの合計4920としました。  2問目は、10番目はBDGE組になるのでゼロですね。

呑さん
ラ・サールや早稲田実業、芝の問題をやったことがあったので何とかできましたが・・・
あと、TORAさんの算チャレVer2にもありました。

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呑さんにご紹介いただいた問題が算チャレVer2の過去問倉庫の第13問と第57問にあります。

順位

正解者

到着日時

1位

呑さん

2003年11月 2日13:27:13

2位

neoさん

2003年11月 2日14:35:23

3位

miyaさん

2003年11月 2日15:36:57

4位

nobuさん

2003年11月 2日16:12:10

5位

たまさん

2003年11月 2日16:32:04

6位

なかさん

2003年11月 2日16:45:33

7位

浮浪さん

2003年11月 2日23:02:54

8位

CRYING DOLPHINさん

2003年11月 3日02:08:08

9位

佐藤 広宣さん

2003年11月 3日02:10:42

10位

信三さん

2003年11月 3日07:43:33

11位

すてっぷさん

2003年11月 3日09:48:19

12位

くまさん

2003年11月 3日13:19:25

13位

ちずさん

2003年11月 3日18:23:30

14位

算数の森さん

2003年11月 4日01:40:57

15位

ほげさん

2003年11月 4日10:02:08

16位

みかんさん

2003年11月 4日20:02:51

17位

フィリピンの鷹さん

2003年11月 4日23:40:38

18位

清川 育男さん

2003年11月 9日10:59:43

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