算数(*^.^*)算数問題  

item068.gif

2005年4月4日〜2005年4月17日
回答は締め切りました。

第14問

台形ABCD

図のようなADとBCが平行で、AB=13cm、BC=23cmである台形ABCDがあります。

ACとBDの交点をEとすると、∠AEB=90°になりました。

また、∠ABFが∠DBFの2倍の大きさになるような点FをAD上にとったところ、∠FBC=60°になりました。

(1)
AEとECの長さの比を、最も簡単な整数の比で表すと何対何になりますか。

(2)
台形ABCDの面積は何cm^2ですか。

※参考:3辺の比が『3:4:5』、『5:12:13』、『7:24:25』の三角形は直角三角形となります。

今回の問題は、「始 受験勉強君」さんから提供いただきました。

解答

(1)3:23  (2)156cm^2

item068.gif

解法例 その1(「始 受験勉強君」さんの解法)

(1)

∠EBF=a°とすると、 ∠CBA=60+2a
∠CBE=60−a
∠BCE=90−(60−a)=30+a
ここで、ABの延長線上に、BC=GBとなるような点Gを取ると、
∠CGB=∠GCB=(60+2a)/2=30+a
よって、∠GCB=∠BCE
ここで、BからGCに引いた垂線とGCの交点をHとすると
△HCB、△GHB、△BCEはすべて合同

△GHBと△AGCにおいて
BC=GBより、 GB=23cm
GB:BA=23:13
GH=HC
∠BGH=∠AGCより
△GHBは△AGCの1/2×23/36=23/72倍
また、□GCEBは△AGCの 23/72×3=69/72倍
△BEAは△AGCの 1−69/72=3/72倍
△BEA:△BCE=3:23
 よって、AE:EC=3:23

kaitou14-1.GIF

(2)

BからCAに引いたGCの平行線とCAの交点をIとします。
すると、錯角より、 ∠HCB=∠CBI
BI=CI
BI//GCより、 GB:BA=CI:IA=23:13
(1)の答えより
CI:IE:EA=299:115:54
また、 BI:IE=299:115=13:5
直角三角形BIEは3辺の比が5:12:13だと分かる。
よって BE:CA=299×12/13:299+115+54=23:39
△ABC、△ACGにおいて、 ∠GACは共通、 ∠CGA=∠BCAより
△ABCと△ACGは相似
ここで、CA=aとすると、13:a=a:36
外項と内項の積が等しいことから、
a×a=13×36
CA=aとしたため、 BE=a×23/39
よって △BCA=a×a×23/39×1/2
△BCA=13×36×23/39×1/2=23×6
CE:EA=23:3、また、BC//ADなので、 BE:ED=23:3
△BCA、△CDAにおいて、底辺が等しいため、 △BCA:△CDA=23:3
よって
□ABCD=23×6×26/23=156cm^2
kaitou14-2.GIF

item068.gif

解法例 その2(ろろの解法)

(1)

∠EBF=a°とすると、∠ABC=60+2a
∠ACB=90-(60-a)=30+a
∠ABCは∠ACBの2倍である。 
∠ABCを2等分する線と辺ACとの交点をLとすると、△LBCは二等辺三角形となる。
点Lから辺BCに下ろした垂線の交点をM、点Lから辺ACに下ろした垂線の交点をNとすると

△LMCと△LMBと△LNBは合同になり
MC=MB=NB=23/2
AN=13-23/2=3/2
よってAN:NB=3:23

△ABCと△ALBにおいて
∠ACB=∠ABL  ∠CAB=∠BALより
△ABCと△ALBは相似となる。
よって
AN:NB=AE:EC=3:23

(2)

ADとBCは平行より△AEDと△CEBは相似となり、
AE:EC=AD:BC=3:23
よって
AD=3cm
kaitou14h-2.GIF

△ABCと△ALBは相似より
AB:BC=AL:LB=13:23
BL=CLより
AL:LC=13:23
点Aから辺BCに下ろした垂線の交点をOとすると
AOとLMは平行より
AL:LC=OM:MC=13:23
BO:BC=23-13:23x2=10:46=5:23
よって
BO=5cm
△ABOは5:12:13の直角三角形となり
AO=12cm

台形ABCDの面積は
(3+23)x12÷2=156cm^2

kaitou14h-3.GIF

item068.gif

皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります。
また、フォーム送信では改行が無視されて送信されるため、送信者の意思とは改行部が異なります、ご了承ください。

kasamaさん
【問題1】
1.GIF座標の割当て
∠CBF=α、∠DBF=θとして、以下の通り座標を割り当てます。
 B={0,0}、C={23,0}、A={13cos(α+2θ),13sin(α+2θ)}、D={13sin(α+2θ)/tan(α-θ),13sin(α+2θ)}
2.GIFBDとACが直交
ベクトルD-BとC-Aの内積が0で、α=π/3を適用して整理しますと、
 (D-B,C-A)=0⇒169(2sin(θ)-1)2(1+2sin(θ))2(4sin2(θ)-3)2(9-2184sin2(θ)+2704sin4(θ))=0
となって、有効な解は
 sin(θ)=(2√39-3√13)/26、cos(θ)=(2√13+3√39)/26
です。ついでに、
 sin(2θ)=2cos(θ)sin(θ)=(12-5√3)/26、cos(2θ)=1-2sin2(θ)=(5+12√3)/26
 sin(3θ)=3sin(θ)-4sin3(θ)=9√13/169
 cos(α+2θ)=cos(α)-2cos(α)sin2(θ)-2cos(θ)sin(α)sin(θ)=5/13
 sin(α+2θ)=sin(α)-2sin(α)sin2(θ)+2cos(α)cos(θ)sin(θ)=12/13
 sin(α-θ)=cos(θ)sin(α)-cos(α)sin(θ)=3√13/13
 tan(α-θ)=(tan(α)-tan(θ))/(1+tan(α)tan(θ))=3/2
ですね。
3.GIFAEとCEの比
上記の値を利用して、
 AE=13sin(3θ)=9√13/13、CE=23cos(π-(α-θ))=23sin(α-θ)=69√13/13
となって、
 AE:CE=3:23 ・・・(答)

【問題2】
上記の値を利用して、
 B={0,0}、C={23,0}、A={5,12}、D={8,12}
なので、
 △ABC=Det[{B-A,D-A}]/2=18、△BCD=Det[{C-B,D-B}]/2=138
となって
 台形ABCD=18+138=156 ・・・(答)

ほげさん
DとかFとかはとってつけたようなので 無視して 三角形ABCについて考えます

(1)
hogesan-14-1.gif

角DBF=xとすると 角ABC=60+2x 角ACB=90-角EBC=90-(60-x)=30+x
であるから 角ABC=2×角ACB

そこで 角ABCの二等分線がACと交わる点をPとすると
三角形ABCと三角形APBが相似であることから
BP=aとすると AB:BC=AP:PBから 13:23=AP:a  AP=13a/23
一方三角形PBCは二等辺三角形であるから PC=a となる

(このことは角の二等分線の公式 AB:BC=AP:PCからも出るけど
小学生の範囲の解答では上のようにやったほうがいいのでしょうね)
hogesan-14-2.gif

次にA,Pから辺BCへ垂線をおろし足をQ,Rとする
三角形ARCと三角形PQCは相似であるから
PC:CQ=AC:CRから a:23/2=36a/23:CRから CR=18
よってBR=5
hogesan-14-3.gif
最後に三角形ABRと三角形BPEが相似ですから
AB:BR=BP:PE より 13:5=a:PE よって PE=5a/13

以上から AE:EC=(13a/23-5a/13):(a+5a/13)
          =3:23 となります


(2)
三角形AEDと三角形CEBが相似であるから 
AD:CB=AE:EC から AD:23=3:23 よってAD=3cm
一方 参考から AR=12
よって面積は  (3+23)×12÷2=156cm^2

yanさん
∠FBD=aとすると、
∠ABC=60°+2a、∠EBC=60°−a、∴∠ECB=30°+a=θとする。
∠ABC=2θとなる。
yansan.GIF
BCの中点をM、ADの中点をNとすると
∠BECが直角であるからB、E、CはMを中心とする半径23/2(cm)の円周上にある。
∠AEDが直角であるからA、E、DはNを中心とする円周上にあり
この円の半径をr(cm)とする。
ここで、∠EMBは2θとなり(円周角と中心角または二等辺三角形の外角より)
ADとBCは平行であるから∠EAD=θ、よって∠ENDは2θとなるから、
N、E、Mは一直線上にあることになる。よって台形ABMNはAB=NMなる等脚台形である。
AB=NM=r+23/2=13 ∴r=3/2(cm)
AE:ECはそれぞれの円の半径の比であるから 3:23  (1)の答
AD=2r=3(cm)
MNを左に半径分平行移動して点Nを点Aにつけると
10、13、13(cm)の二等辺三角形ができることから
台形の高さは12(cm)
面積は(23+3)×12/2=156cm^2   (2)の答

カエさん
∠FBD=aとする Aから辺BCにおろした垂線をAGとすると ∠BAG=30ー2a
kaesan.GIF
辺BC上にBG=GHとなる点Hをとると 三角形ABHは2等辺三角形となりAH=13 ∠BAH=60−4a
∠ABC=60+2a、∠ACB=30+aなので ∠BAC=90−3a ∠HAC=30+aとなり
三角形HACは二等辺三角形でHC=13 BH=10でBG=5
よって三角形ABGは13:12:5の直角三角形で AG=12、台形の高さは12
次にBCを一辺とする23X12の長方形JBCKを描く(中に台形ABCDがすっぽり収まるような)
三角形JBD∽三角形KAC JB:JD=KA:KC 12:JD=18:12 JD=8 よってAD=3  
したがって AE:EC=3:23 台形ABCDの面積は (3+23)*12÷2=156

ナキイルカさん
(1)は「60度」に着目して、
壱)△BCEをBCについて折り返して△BCE'を作成
弐)△BCE'をBE'について折り返して三角BC'E'を作成
すると、A-B-C'とC'-E'-Cはともに一直線。
あとは△BCC'の面積を23として面積比を利用すれば… AE:EC=13−23÷2:23÷2=3:23。
(2)は算数で解くのをあきらめて、△ABEと△CBEが 辺BEを共有することに着目した三平方の定理に走り… 13^2−(3x)^2=23^2−(23x)^2。
これを解けばx=3√13/13。 これより直ちにBE=46√13/13とわかる。
あとは相似比なりを用いて面積を求めるだけです。  
実のところは、 (1)はおおよその解き方を知っていて、 (2)は「AからBCに垂線の足AHをひくと、5:12:13の 三角形ができそうだな…」と推論を押し付けたという のが真相です。お粗末。。  

順位

正解者

到着日時

1位

nobuさん

2005年4月4日 21:29:44

2位

yanさん

2005年4月4日 21:39:18

3位

きょろ文さん

2005年4月4日 22:14:48

4位

kasamaさん

2005年4月5日 11:56:05

5位

カエさん

2005年4月5日 22:36:26

6位

tomhさん

2005年4月5日 23:08:35

7位

ほげさん

2005年4月7日 16:28:35

8位

なかさん

2005年4月8日 21:16:49

9位

uchinyanさん

2005年4月9日 21:54:59

10位

女衒の諒さん

2005年4月10日 20:09:35

11位

経友会の進作さん

2005年4月11日 22:59:30

12位

ナキイルカさん

2005年4月12日 1:02:31

13位

フジ27時間さん

2005年4月12日 23:41:09

14位

yokoさん

2005年4月13日 17:54:12

15位

すてっぷさん

2005年4月17日 22:59:22

TOPに行けるよ♪
[TOPページへ戻る]