算数問題

２００５年１月１４日～２００５年１月２７日
回答は締め切りました。

第１２問（5万アクセス記念問題）　
　りょりょは次のようなゲームをしました。

赤・青・緑の玉がたくさん入った箱から１つずつ玉を取り出しお皿にのせていきます。
合計９個の玉を取り出せたらあがりです。
ただし、玉をお皿にのせるたびに、お皿の中の青玉の個数が赤玉の個数より多くなったら負けです。
またお皿の中の緑玉の個数が赤玉と青玉の合計より多くなっても負けです。

　りょりょは無事に９個の玉を取り出すことができました。
お皿にある玉を見てみると、

赤玉が３個、青玉が３個、緑玉が３個ありました。

このように、あがることができた時にそれぞれの玉の個数がすべて３個ずつになる玉の取り出し方は何通りありますか？

解答

２４０通り

赤玉・青玉の関係だけを考えていくとカタラン数になります。

横軸に赤玉の個数、縦軸に青玉の個数をとり格子状に取りうる道筋を進んでいきます。

取りうる道筋の一つ手前の道筋の数を順に足していくとそこまでの道筋の数が分かります。

青は赤より多くなるような道筋は通れないので図のような階段状の道筋になります。

問題では緑の玉も考えなくてはいけないので表を立体的に描いてみました。

立方体の横軸に赤・縦軸に青・高さ軸に緑とすると下の図のような道筋をたどることになります。

緑は赤が１つ進んだ時点で一番下から１段上に進めます。

また赤が２つまたは赤１つ青１つ進んだ時点で一番下から２段上まで進めます。

同様に赤３つまたは赤２つ青１つ進んだ時点で一番したから３段上まで進めます。

このようにして道筋の数を求めると２４０通りとなります。

別解
みかんさん、nobuさんの解法を元に作りました。

緑の玉の入り方は赤・青の色の区別なく2つの合計の個数と関係してきます。

赤・青区別なく6個の間への緑の入り方は48通り

赤と青の並び順は上記の5通り

すべての並び順は
５ｘ４８＝２４０通り

皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります。
また、フォーム送信では改行が無視されて送信されるため、送信者の意思とは改行部が異なります、ご了承ください。

経友会の進作さん
　先ず赤球と青球の2種類だけの関係を見ました。
（1）作業の途中で青球が赤球より多くならない場合の数は5通り。
　続いて赤球と青球を合算して6個のグループと考え、緑球をその間あるいは右端(左端は題意より駄目）に入れ込む関係を見ました。
作業の途中で緑球が赤球+青球より多くならない場合は下記の通りです。
（2）-1：連続した緑球が3個並ぶ場合は4通り。
　　-2：緑球1個と緑球2個の間に他の球を挟む場合は14通り。
　　-3：緑球2個と緑球1個の間に他の球を挟む場合は10通り。
　　-4：緑球3個がそれぞれ連続していない場合は20通り。
(2)の合計は4+14+10+20=48通り。
(1)の場合の数に対してそれぞれ（2）場合の数があるので、求める答えは、5×48=240より240通り。

あさみかずみさん
３×３のますを書き左下からスタートして青は上赤は右へ進むようにしました。
赤より青が多くならい様に進むと、進み方は５通り５通りそれぞれに緑を３個ずつ入れるとすると、縦３横６のますを書き左下からスタートして緑は上赤青は右へ進むようにしました。
赤青より緑ご多くならない様に進むと
（４×２）＋（４×３）＋（３×４）＋（２×５）＋（１×６）＝４８５×４８＝２４０

Plutonianさん
初回は赤のみだから，残り8回分の3色の並べ方について考える。
緑のNGパタンが8通り。よって，緑の置き方は，
　　8Ｃ3－8＝48（通り）
次に，残り8回分のうち緑3つ分を除いた5回分について考える。
青のNGパタンが5通り。
よって，青の置き方は，
　　5Ｃ3－5＝5 したがって，答えは，　　48×5＝240（通り）

???さん
Option Explicit Sub Macro1() Sheets("Sheet1").Select Cells(1, 1).Value = 0 Range("A1").Select ' Dim a(9) As Integer Call saiki(1, a()) Range("A1").Select End Sub Sub saiki(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer) Dim kosuu(2) As Integer Dim j As Integer a(n) = 0 While a(n) <= 2 For j = 0 To 2 kosuu(j) = 0 Next j For j = 1 To n kosuu(a(j)) = kosuu(a(j)) + 1 Next j If kosuu(0) <= 3 And kosuu(1) <= 3 And kosuu(2) <= 3 And kosuu(1) <= kosuu(0) And kosuu(2) <= kosuu(0) + kosuu(1) Then If n < 9 Then Call saiki(n + 1, a()) Else Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1 For j = 1 To 9 Range(R(j + 1) & Cells(1, 1).Value).Select Select Case a(j) Case 0 ActiveCell.Formula = "赤" Selection.Font.ColorIndex = 3 Case 1 ActiveCell.Formula = "青" Selection.Font.ColorIndex = 5 Case Else ActiveCell.Formula = "緑" Selection.Font.ColorIndex = 10 End Select Next j End If End If a(n) = a(n) + 1 Wend End Sub Function R(ByVal n As Long) As String Dim strAddress As String strAddress = Columns(n).Address(False, False) R = Left(strAddress, Len(strAddress) \ 2) End Function

※フォーム送信のため、改行の位置が分かりません。申し訳ありません。m(__)m

ゴンともさん
先ず、5個の玉をとりだした各玉の個数を考えることにする。
題意での答えは各玉3個ずつだから4個以上は考えなくてよい
(赤,緑)=(2,3)(途中負けの2番目の条件で不可),(3,2)・・・・・・

(赤,青)=(2,3)(途中負けの最初の条件で不可),(3,2)・・・・・・

(緑,青)=(2,3)(途中負けの最初の条件で不可),(3,2)(途中負けの最初の条件で不可)
(赤,緑,青)=(1,1,3)(途中負けの最初の条件で不可),(1,3,1)(途中負けの2番目の条件で不可) (3,1,1)・・・・・・

(2,2,1)・・・・・・

,
(2,1,2)・・・・・・

,
(1,2,2)(途中負けの最初の条件で不可)

:(赤,緑)=(3,2)
　あとに(緑,青)=(1,3)=4通り (赤,緑)=(3,2)で題意を満たすものは [r, g, r, g, r],[r, r, g, g, r],[r, g, r, r, g],[r, r, g, r, g],[r, r, r, g, g] 計5通り
　あとにも題意を満たし
　より　5*4=20通り・・・・・・(答えの一部其の一)

:(赤,青)=(3,2)　あとに(緑,青)=(3,1)=4通り
(赤,青)=(3,2)で題意を満たすものは [r, b, r, b, r],[r, r, b, b, r],[r, b, r, r, b],[r, r, b, r, b],[r, r, r, b, b] 計5通り　
あとにも題意を満たし　より　5*4=20通り・・・・・・(答えの一部其の二)

:(赤,緑,青)=(3,1,1)　あとに(緑,青)=(2,2)=4通り [r, b, g, r, r],[r, g, b, r, r],[r, b, r, g, r],[r, r, b, g, r],[r, g, r, b, r] [r, r, g, b, r],[r, b, r, r, g],[r, r, b, r, g],[r, r, r, b, g],[r, g, r, r, b] [r, r, g, r, b],[r, r, r, g, b] 計12通り
　あとにも題意を満たし
　　12*6=72通り・・・・・・(答えの一部其の三)

:(赤,緑,青)=(2,2,1)　あとに(赤,緑,青)=(1,1,2)
あとに(赤,緑,青)=(1,1,2)で題意を満たすものは [b, r, b, g],[r, b, b, g],[b, g, r, b],[g, b, r, b],[b, r, g, b] [r, b, g, b],[g, r, b, b],[r, g, b, b]　で計8通り
(赤,緑,青)=(2,2,1)で題意を満たすものは [r, b, g, g, r],[r, g, b, g, r],[r, b, g, r, g],[r, g, b, r, g],[r, b, r, g, g] [r, r, b, g, g],[r, g, r, b, g],[r, r, g, b, g],[r, g, r, g, b],[r, r, g, g, b] で計10通り
　より　8*10=80通り・・・・・・(答えの一部其の四)

:(赤,緑,青)=(2,1,2)　あとに(赤,緑,青)=(1,2,1) 　
あとに(赤,緑,青)=(1,2,1)で題意を満たすものは [r, b, g, g],[g, r, b, g],[r, g, b, g],[g, g, r, b],[g, r, g, b],[r, g, g, b] で計6通り
(赤,緑,青)=(2,1,2)で題意を満たすものは [r, b, r, b, g],[r, r, b, b, g],[r, b, g, r, b],[r, g, b, r, b],[r, b, r, g, b] [r, r, b, g, b],[r, g, r, b, b],[r, r, g, b, b] で計8通り　
より　8*6=48通り・・・・・・(答えの一部其の五)
答えの一部の総計で20+20+72+80+48=240通り・・・・・・(答え)

miyaさん

算数の森さん
小学生っぽく道順の解法で処理しました。立体の図はわかりにくいので、平面の図を４枚かきました。

あつきパパさん
数えあげによる
１順目を終えて題意を満たすもの（赤，青，緑）＝（１，０，０）（１とおり）
２順目（２，０，０）（１とおり）　（１，１，０）（１とおり）　（１，０，１）（１とおり）
３順目（３，０，０）（１とおり）　（２，１，０）（２とおり）　（２，０，１）（２とおり）　（１，１，１）（２とおり）
４順目（３，１，０）（３とおり）　（３，０，１）（３とおり）　（２，２，０）（２とおり）　（２，１，１）（６とおり）　（２，０，２）（２とおり）　（１，１，２）（２とおり）
５順目（３，２，０）（５とおり）　（３，１，１）（１２とおり）　（３，０，２）（５とおり）　（２，２，１）（８とおり）　（２，１，２）（１０とおり）
６順目（３，３，０）（５とおり）　（３，２，１）（２５とおり）　（３，１，２）（２７とおり）　（３，０，３）（５とおり）　（２，２，２）（１８とおり）　（２，１，３）（１０とおり）
７順目（３，３，１）（３０とおり）　（３，２，２）（７０とおり）　（３，１，３）（４２とおり）　（２，２，３）（２８とおり）
８順目（３，３，２）（１００とおり）　（３，２，３）（１４０とおり）
９順目（３，３，３）（２４０とおり）

順位	正解者	到着日時
１位	nobuさん	2005年1月14日 23:08:46
２位	tomhさん	2005年1月14日 23:19:19
３位	みかんさん	2005年1月14日 23:37:23
４位	ほろ酔いの呑さん	2005年1月14日 23:40:49
５位	なかさん	2005年1月15日 4:10:19
６位	codraさん	2005年1月15日 5:30:12
７位	女衒の諒さん	2005年1月15日 7:04:52
８位	経友会の進作さん	2005年1月15日 11:06:45
９位	なにわさん	2005年1月15日 19:27:04
１０位	あさみかずみさん	2005年1月15日 21:55:33
１１位	奥入瀬さん	2005年1月15日 22:25:44
１２位	yanさん	2005年1月15日 22:54:16
１３位	Plutonianさん	2005年1月16日 0:25:54
１４位	???さん	2005年1月17日 14:11:06
１５位	ほげさん	2005年1月18日 10:54:00
１６位	ちずさん	2005年1月18日 22:15:30
１７位	ゴンともさん	2005年1月19日 15:22:21
１８位	miyaさん	2005年1月19日 17:29:49
１９位	算数の森さん	2005年1月24日 9:45:45
２０位	あつきパパさん	2005年1月24日 14:29:18
２１位	カエさん	2005年1月26日 20:01:46
２２位	すてっぷさん	2005年1月27日 18:48:52

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