算数(*^.^*)算数問題  

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2004年12月24日〜2005年1月6日回答は締め切りました。

第11問(りょりょ退院記念問題)

(1) 
 赤と白のビーズがそれぞれ12個ずつ,計24個あります。
 このビーズを2つの箱にしまうとき,しまい方は全部で何通りあるでしょう?
 (箱は見分けがつかないものとし,それぞれの箱には1個以上のビーズを入れるものとします。)

(2)
 りょりょの退院記念パーティーに8人が参加しました。
 パーティーが始まってしばらくすると,数人ずつのグループに分かれて話に夢中になっていました。
 グループの分かれ方は全部で何通りあるでしょう?
 (必ず2つ以上のグループに分かれ,グループは最低2人とします。)
※8人をA,B,C,D,E,F,G,Hとした時、
たとえば4人ずつに分かれた場合
AがBC
と同じグループの時と
AがBC
と同じグループの時とは別の分かれ方です。
8人それぞれがどのように分かれるかを考えてください。(1月3日追記)

今回の問題は、浮浪さんから提供いただきました。

解答

(1)84通り  (2)714通り

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(1)
 「赤」の入れ方だけを考えると,少ない方に注目して,「赤」0個〜6個の7通り。

●「赤」0個〜5個のとき,これらに「白」を0個〜12個入れる・・・6×13=78通り
●「赤」6個のとき,「白」は0個〜6個・・・7通り

「赤」0個,「白」0個のときを除いて
78+7−1=84通り

           答え: 84通り

※浮浪さんの解法に一部加筆して作成しました。

(2)
グループがいくつできるかで場合分けすると
2グループの分かれ方
  2−6
  3−5
  4−4
3グループの分かれ方
  2−2−4
  2−3−3
4グループの分かれ方
  2−2−2−2
ここで注意しなくてはいけないのが、赤で示した同じ人数のグループが複数あるケースです。
人数が同じグループを入れ替えた時に同じメンバーになる場合を除かなくてはいけません。

●2−6の場合
8人から2人を選ぶ選び方は
8x7/(2x1)=28通り
●3−5の場合
8x7x6/(3x2x1)=56通り
●4−4の場合
8x7x6x5/(4x3x2x1x2)=35通り
●2−2−4の場合
8x7x6x5/(2x1x2x1x2)=210通り
●2−3−3の場合
8x7x6x5x4/(2x1x3x2x1x2)=280通り
●2−2−2−2の場合
8x7x6x5x4x3/(2x1x2x1x2x1x4x3x2x1)=105通り


28+56+35+210+280+105=714通り

          答え:714通り

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皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

tomhさん
(1) まず、ビーズも箱も区別するとき、 赤と白のビーズそれぞれ、 13通りの分け方があります。 合わせて13x13=169通りの分け方があります。 このうち、一方の箱にしか入ってないものが 2通りなので、それを引きます: 169-2=167通り。 さらに箱を区別しないと、赤白6個ずつ分ける 入れ方以外は、ダブっているので、2で割ります: (167-1)/2+1=84通り。
(2) 2グループ:  2-6: C(8,2)=28  3-5: C(8,3)=56  4-4: C(8,4)/2=35 3グループ:  2-2-4: C(8,2)xC(6,2)/2=210  2-3-3: C(8,2)xC(6,3)/2=280 4グループ:  2-2-2-2: C(8,2)xC(6,2)xC(4,2)/24=105  合わせて714通り。
みかんさん
(1)片方の箱の内訳だけ考えればいい。 よって、赤が0〜12個、白が0〜12個なので 13×13=169が基準。そこから1箱に全部入れる2通りを引く。さらに赤白6個ずつは対になるのがないのでどけておく。  結局、(169−3)+1=84通り。
(2)大学入試あたりで出せそうな問題ですね。  8を2以上の整数で分割できるのは 2+6、      28通り 3+5、      56通り  4+4、      35通り 2+2+4、    210通り 2+3+3、    280通り 2+2+2+2   105通り 合計        714通り  グループ自体に区別はないことを考えつつ解けばいいのですね。)
女衒の諒さん
(1)2+3+....+10+11+12+13-6 (2)6通りに場合分け
なにわさん
(1)1個入れる方法が2通り、2個のとき3通り、…… 11個のとき12通り、12個のとき(13−6)通り 合計で84通り(12個のときダブリを除くことが必要)
kasamaさん
(1) 『箱は見分けがつかない』と書いているので、赤のビーズ数≦白のビーズ数として、1つの箱にどう入れるかを考えればいいですね(*^_^*)。赤白の組を(赤,白)と表現して書き出しますと、  (0,1),...,(0,11),(0,12)・・・12組  (1,1),(1,2),...,(1,11),(1,12)・・・12組  ・・・  (6,6),(6,7),...,(6,11),(6,12)・・・7組  (7,8),...,(7,11),(7,12)・・・5組 ←(7,7)は(1,1)と同値(以下、同様)  ・・・  (11,12)・・・5組 となりまして、  12+(12+・・・+7)+(5+・・・+1) = 84組 です。
(2) グループの分割数で場合分けして、計算しますと  2組・・・Binomial[8,6]+Binomial[8,5]+Binomial[8,4]/2!  3組・・・Binomial[8,4]*Binomial[4,2]/2!+Binomial[8,3]*Binomial[5,3]/2!  4組・・・Binomial[8,2]*Binomial[6,2]*Binomial[4,2]/4! となりまして、  119+490+105=714 です。『必ず2つ以上・・・』という制約がなければ、第二種スターリング数ですね(*^_^*)  
奥入瀬さん
(1)箱の詰め方で場合分けします。 少ない方の箱で考えて,1個から12個まで入る。 1個のとき:赤が1個か0個の2通り 2個のとき:赤が2個か1個か0個の3通り 以下同様に考えて, 11個までは少ない方の箱にn個入っていれば, それぞれn+1通りの詰め方がある。 ここまでで,2+3+4+5+…+10+11+12=77 12個のときはもう一方にも同じく12個入るので, だぶりを考慮して7通り 以上全部で,77+7=84通り
(2)8人の分け方は, 2-6,3-5,4-4,2-2-4,2-3-3,2-2-2-2の6通り ・2-6のとき  8C2=28 ・3-5のとき  8C3=56 ・4-4のとき  8C4÷2=35 ・2-2-4のとき  8C4×4C2÷2=210 ・2-3-3のとき  8C2×6C3÷2=280 ・2-2-2-2のとき  8C2×6C2×4C2÷4!=105 28+56+35+210+280+105=714通り
BossFさん
(2)グループ数Gは2〜4で G=2のとき、わかれかたP=(6,2),(5,3)(4,4) G=3のとき、わかれかたP=(4,2,2)(3,3,2) G=4のとき、わかれかたP=(2,2,2,2)  P=(6,2)→8C2=28通り、P=(5,3)→8C3=56通り、 P=(4,4)→8C4/2!=35通り P=(4,2,2)→8C2x6C2/2!=210通り、 P=(3,3,2)→8C2x6C3/2!=280通り P=(2,2,2,2))→8C2x6C2x4C2/4!=105通り  以上より 28+56+35+210+280+105=714通り
経友会の進作さん
[1] 赤白各12個で箱2つなので入れ方は夫々0〜12の13通りで
  組み合わせは13*13=169。そのうち不適の2通りとダブリの83
  通りを差し引いて84通り。
なかさん
(1) 84通り まず、箱にA,Bと名前をつけておく。 一方が空でもよければ、Aの箱への入れ方は、  赤が0〜12まで13通り、  白が0〜12まで13通り、全部で169通り。  次に題意に合うものを調べる。169通りのうち、 ちょうど(色まで)まっぷたつに分かれるのが、1通り。 一方が空になるのが、2通り・・・これは不適。 残り166通り・・・箱を区別しないなら半分の83通り。 1+83=84通り  
(2) 714通り 2組  2-6  8!/(2!6!)=28  3-5  8!/(3!5!)=56  4-4  8!/(4!4!)/2!=35 3組  2-2-4 8!/(2!2!4!)/2! = 210  2-3-3 8!/(2!3!3!)/2! = 280 4組  2-2-2-2 8!/(2!2!2!2!)/4!=105
codraさん
(2)2人ずつ4つのグループに分かれる 105 4人ずつ2つのグループに分かれる 35 4人、2人、2人のグループに分かれる 8*7*6*5/(4*3*2*1)*4*3/(2*1)/2=210 3人、3人、2人のグループに分かれる 8*7*6/(3*2*1)*5*4*3/(3*2*1)/2=280 6人、2人のグループに分かれる 8*7/(2*1)=28 5人、3人のグループに分かれる 8*7*6/(3*2*1)=56
ナキイルカさん
(1)は、片方の箱に白ビーズが0〜6個入った時で 場合分けして、12+13×5+7=84通り。 (2)は、どのような集団に分かれたか場合分けして、 6&2→8C2 5&3→8C3 4&4→8C4÷2! 4&2&2→8C2・6C2÷2! 3&3&2→8C3・5C3÷2! 2&2&2&2→8C2・6C2・4C2・2C2÷4!

順位

正解者

到着日時

1位

佐藤 広宣さん

2004年12月24日 23:26:43

2位

tomhさん

2004年12月24日 23:32:04

3位

yanさん

2004年12月24日 23:34:32

4位

nobuさん

2004年12月24日 23:52:01

5位

女衒の諒さん

2004年12月24日 23:56:38

6位

みかんさん

2004年12月25日  0:04:58

7位

すてっぷさん

2004年12月25日  0:35:06

8位

なにわさん

2004年12月25日  1:03:46

9位

kasamaさん

2004年12月25日 20:17:29

10位

ほげさん

2004年12月26日  0:41:18

11位

奥入瀬さん

2004年12月26日 14:56:08

12位

始 受験勉強君さん

2004年12月26日 15:05:39

13位

BossFさん

2004年12月27日 10:05:58

14位

フジ27時間さん

2004年12月28日  0:33:54

15位

なかさん

2004年12月28日 18:05:45

16位

経友会の進作さん

2004年12月28日 19:08:56

17位

codraさん

2005年 1月 5日 21:14:21

18位

ナキイルカさん

2005年 1月 6日  0:37:34

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