算数問題 算数問題 
２００４年５月７日～５月２０日回答は締め切りました。 △ＡＢＣの中に点Ｐをとり各頂点と結ぶと ∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＣ＝１６° となりました。 この時∠ＡＣＰ（ア）の角度は何度ですか？
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解答 ２８°
△ＢＣＰを線分ＢＣを軸として折り返した時、点Ｐと重なる点をＱ、△ＡＢＰを線分ＡＢを軸にして折り返した時、点Ｐと重なる点をＲとし、ＣＰの延長線とＡＢとの交点をＳとする。
∠ＡＳＣ＝∠ＳＢＣ＋∠ＳＣＢ＝１６ｘ２＋１４＝４６° ∠ＡＰＣ＝∠ＡＳＰ＋ＳＡＰ＝４６＋３０＝７６° △ＣＰＱは二等辺三角形より ∠ＣＰＱ＝（１８０－１４ｘ２）÷２＝７６° ＢＰ＝ＢＱ＝ＢＲ ∠ＱＢＰ＝∠ＲＢＰ＝１６ｘ２＝３２°より △ＢＰＱと△ＢＰＲは合同。よって ＰＱ＝ＰＲ ＡＲ＝ＡＰ ∠ＲＡＰ＝３０ｘ２＝６０°より △ＡＲＰは正三角形。よって ＰＲ＝ＡＰ＝ＰＱ △ＣＡＰと△ＣＱＰは２辺が等しくそのはさむ角が等しいので合同。 よって ∠ＡＣＰ＝１４ｘ２＝２８°
皆様からの解法 |
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| tomhさん ∠APC=76度ということは、すぐにわかります。 正弦定理で、 PC = (sin16/sin14)PB, PA = (sin16/sin30)PB = 2PBsin16. 余弦定理で、 (AC/PB)^2 = (sin16/sin14)^2 + 4(sin16)^2 -4(sin16/sin14)sin16cos76. ここで、cos76=sin14を使うと、 (AC/PB)^2 = (sin16/sin14)^2 ∴ AC = (sin16/sin14)PB. ∴ AC = PC ∴ ∠ACP = 180 -2x76 = 28度. |
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| tekiさん 角の２等分線をもう１本引き、三角形ＱＢＣを作ると、点Ｐは、この三角形の内心。 三角形ＱＡＰが二等辺三角形になるので、ＡＰとＣＱは 直交します。 よって、ＣＱは角ＰＣＡの二等分線になってますね。 つまり、求める角度は１４×２＝２８度 |
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| ゴンともさん 先ずCから直線ABに対して直線を引きその交点をDとし またその直線と直線APとの交点をEとした。 ∠PCD=14度・・・・・・  とすると∠BDC=120度・・・・・・  すると∠CDA=60度,すると∠CEA=∠DEA=90度・・・・・・  ここで内角の二等分線の交点は内心 これと とより∠PDC=∠ADC=60度これと とより∠DPA=30度・・・・・・ すると題意の図で∠DAP=30度 これと とより△DPAは二等辺三角形これと とよりPE=EAまたこれと とCDが共通であることより△PEC=△AECより∠PCD=∠ACD これと とより∠PCD=∠ACD=14度∴ ∠PCD+∠ACD=∠ア=28度・・・・・・(答え) |
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| 寺脇犬さん APを延長してBCと交わる点を Rとすると 角ARB＝１１８度 角ARC＝６２度 角CPR＝１０４度 角APC＝７６度 次に三角形CAPの形状を調べる。 と言うのは、 任意の三角形に於いて 二つの内角の二等分線の長さが 等しければ その三角形は二等辺三角形である。（これは 証明されている定理） 三角形CAPに於いて 今 角A ＜ 角P と仮定する。 まず 角A 角Pの二等分線を AD PE として 線分CE上に 点Fを 角CAD＝角EPFとなるようにとる、 さらに 角A ＜ 角APFより 辺AF上に 点Gを AG=PFであるようにとる さらにさらに 線分AD上に 点Hを GH と FP が平行となるようにとる。 このとき 三角形AGH ≡ 三角形PFE が成立する。 それで PE=AH がいえる。 AH ＜ AD なんで、 角A ＜ 角P なら PE ＜ AD 角A ＞ 角P なら PE ＞ AD 従ってもし PE=AD が成立すれば 角A ＝角P なんで 三角形CPAは 二等辺三角形って ことになるわけですね。 以上から 角A＝角P=７６度で 求める角ACPは ２８度 |
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| 信三さん APの右側に、三角形APQが正三角形になるように点Qを取り正三角形APQを作る。 BCの上に、BD=BAとなる点Dを取る。 QとC、PとDを結んで、３個の三角形を作る。以下にこれらが合同であることを示す。 角PDB=30度、角PCD=14度から、角CPD=16度。 点Pの周りの角度は、角CPQ以外は既知で、計算すると角CPQ=16度。 従って、三角形PCDと三角形PCQは２辺とこれを挟む角が等しいので合同。 従って、角PCQ=14度。 点Qの周りの角度は、AQP=60度、PQC=150度から、角AQC=150度。 従って、三角形PCQと三角形ACQは２辺とそれを挟む角が等しいので合同。 従って、角ACQ=14度。 従って角ACP=ACQ+PCQ=28度 |
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| 浜田 明巳さん 次のＣで解きました． /* r10.c */ #include<stdio.h> #include<math.h> #include<conio.h> void main(){ double kizami=.01,Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Px,Py,Axx,Ax_max,Ax_min; double a,b,c,d,sa,min=1000.0,kotae,rad; int dankai; Bx=.0; By=.0; Cx=1.0; Cy=.0; Axx=.0; rad=4.0*atan(1.0)/180.0; /* BP:y=tan(rad(16.0))*(x-Bx)+By=a*x+b */ a=tan(rad*16.0); b=a*(-Bx)+By; c=tan(rad*(90.0-(90.0-16.0*2.0-30.0))); /* APの傾き */ for(dankai=1;dankai<=14;dankai++){ if(dankai==1){ Ax_min=kizami; Ax_max=2.0; } else{ Ax_min=Axx-kizami; Ax_max=Axx+kizami; kizami*=.1; } for(Ax=Ax_min;Ax<=Ax_max;Ax+=kizami){ Ay=Ax*tan(rad*(16.0*2.0)); /* AP:y=c*(x-Ax)+Ay=c*x+d */ d=c*(-Ax)+Ay; /* Py=a*Px+b=c*Px+d */ Px=(d-b)/(a-c); Py=a*Px+b; sa=fabs(atan((Py-Cy)/(Cx-Px))/rad-14.0); if(min>sa){ min=sa; Axx=Ax; kotae=(atan((Ay-Cy)/(Cx-Ax))-atan((Py-Cy)/(Cx-Px)))/rad; printf("∠ACP=%25.20lf°,｜∠PCB-14°｜=%25.20lf°\n",kotae,min); } } } getch(); } |
順位 |
正解者 |
到着日時 |
１位 |
ゴンともさん |
2004年5月7日 22:10:29 |
２位 |
oguchan1さん |
2004年5月7日 22:12:05 |
３位 |
永弘 世之介さん |
2004年5月7日 22:18:08 |
４位 |
nobuさん |
2004年5月7日 22:18:25 |
５位 |
みかんさん |
2004年5月7日 22:19:25 |
６位 |
ちずさん |
2004年5月7日 22:24:01 |
７位 |
あさ ★さん |
2004年5月7日 22:25:03 |
８位 |
経友会の進作さん |
2004年5月7日 22:31:00 |
９位 |
なにわさん |
2004年5月7日 22:40:10 |
１０位 |
tomhさん |
2004年5月7日 22:52:38 |
１１位 |
yanさん |
2004年5月7日 22:55:28 |
１２位 |
2004年5月7日 22:59:24 |
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１３位 |
tekiさん |
2004年5月7日 23:45:49 |
１４位 |
まちゃぴさん |
2004年5月8日 9:26:16 |
１５位 |
すてっぷさん |
2004年5月8日 13:09:49 |
１６位 |
寺脇犬さん |
2004年5月8日 19:32:52 |
１７位 |
ziziさん |
2004年5月8日 22:30:11 |
１８位 |
さささん |
2004年5月9日 0:13:51 |
１９位 |
2004年5月9日 10:39:38 |
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２０位 |
秀才くんさん |
2004年5月9日 17:01:11 |
２１位 |
始 受験勉強君さん |
2004年5月9日 19:44:38 |
２２位 |
信三さん |
2004年5月10日 3:32:26 |
２３位 |
息子と乙女さん |
2004年5月10日 14:34:55 |
２４位 |
2004年5月10日 16:40:23 |
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２５位 |
しなちくさん |
2004年5月13日 23:32:49 |
２６位 |
codraさん |
2004年5月15日 15:59:33 |
２７位 |
奥入瀬さん |
2004年5月16日 0:55:37 |
２８位 |
2004年5月17日 14:28:38 |
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２９位 |
浜田 明巳さん |
2004年5月19日 11:41:22 |
３０位 |
2004年5月20日 1:20:39 |
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３１位 |
ドルジさん |
2004年5月22日 10:46:30 |
