算数問題

２００３年１０月６日

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第１問

６けたの整数ＡＢＣＡＢＣは２０３５で割り切れます。このとき、６けたの整数として考えられるものをすべて求めなさい。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃは各けたの数字とし、異なる数字がはいります。

(投稿者：算数の森さん）

解答

185185　370370　740740　925925

皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

tekiさん
　ABCABCは1001の倍数、2035=5×11×37　1001=7×11×13　より
該当する数は、5×7×11×13×37=185185の倍数。
ところが、ABCは異なる数ですので、上記の４つが該当します。

玉手箱さん
ＡＢＣＡＢＣ＝ＡＢＣ×１００１
　　　　　　　＝ＡＢＣ×１１×９１
２０３５＝５×１１×３７

ＡＢＣＡＢＣ÷２０３５＝（ＡＢＣ×９１）÷（５×３７）
５×３７＝１８５だから、３けたで１８５の倍数を書き出すと、
１８５、３７０、５５５、７４０、９２５
この中で５５５を除いたのが、答え

佐藤広宣さん
abcabcは1001の倍数なので
求める数は，2035と1001の公倍数。
最小公倍数は185185だから
6桁になるように1倍，2倍，…5倍にすればよい。
注）タイプミスと思われる箇所を訂正しました。

nobuさん
１００１００*Ａ+１００１０*Ｂ+１００１*Ｃ=２０３５*Ｋ（Ｋは自然数）
５*１１*１８２０*Ａ+５*１１*１８２*Ｂ+１１*９１*Ｃ=５*１１*３７*Ｋ
　　　　　　　　５*１８２０*Ａ+５*１８２*Ｂ+９１*Ｃ=５*３７*Ｋ
これよりＣは５の倍数。すなわち０または５。
（ｉ）　Ｃ=０　のとき
　　　　　　５*１８２０*Ａ+５*１８２*Ｂ=５*３７*Ｋ
　　　　　　　　　　　　　　　　１８２０*Ａ+１８２*Ｂ=３７*Ｋ
　　　　　　　　（３７*４９+７）*Ａ+（３７*５-３）*Ｂ=３７*Ｋ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７*Ａ-３*Ｂ=３７*Ｋ’
　　　　　　　　　　この条件を満たすＡ、Ｂをさがすと、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　（Ａ，Ｂ）＝（３,７）、（７,４）
（ｉｉ）　Ｃ=５　のとき
　　　　　　５*１８２０*Ａ+５*１８２*Ｂ+９１*５=５*３７*Ｋ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１８２０*Ａ+１８２*Ｂ+９１=３７*Ｋ
　　　　（３７*４９+７）*Ａ+（３７*５-３）*Ｂ+（２*３７+１７）=３７*Ｋ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７*Ａ-３*Ｂ+１７=３７*Ｋ’
　　　　　　　　　　この条件を満たすＡ、Ｂをさがすと、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　（Ａ，Ｂ）＝（１,８）、（９,２）　（（５,５）は不適）

高橋　道広さん
ABCABC=1001×ABC=7×11×13×ABC
2035=5×11×37より
ABCは5×37=185の倍数で3桁なので　185　370　555　740　925　
このうち　異なる数字なのは185185　370370　740740　925925　となり
ます。

信三さん
１８５１８５とそれの２、４、５倍の、３７０３７０、
７４０７４０、９２５９２５です。（３倍は５５５５５５で駄目）
解法は、ａを３桁の数、ｎを整数として、次の式を立て
ａ＊１００１　＝　ｎ＊２０３５
ａ＊１１＊７＊１３　＝　ｎ＊１１＊５＊３７
ａ＊７＊１３　＝　ｎ＊５＊３７
これから　ａ　は　５＊３７＝１８５　の倍数であることがわかりま
す。

Rom #1さん
６桁の整数　ＡＢＣＡＢＣを　3桁の整数ＡＢＣ　×　１００１に分解します。
これがこの問題のpointですね。
後は簡単、
　　　　　　次に　１００１　と　２０３５　を因数分解すれば
　　　　１００１＝７・１１・１３　　　　　　　　　　
　　　　２０３５＝５・１１・３７　　　　　だから
　６桁の整数　ＡＢＣＡＢＣ　が　２０３５で割り切れるためには
3桁の整数　ＡＢＣ　が　　１８５（つまり　３７×５）の倍数であればいいから
条件に適う　ＡＢＣ　は　１８５　　３７０　　　７４０　　　　９２５
従って　答えは　　　１８５１８５　　　３７０３７０　　　７４０７４０　　　　９２５９２５　　　　　以上

柿原　伸次さん
(100100a+10010b+1001c)/2035 を考えて 91(100a+10b+c)/185 で５５５
を除いた4つです。

みかんさん
ＡＢＣＡＢＣの並びから１００１の倍数だということに気がつくことが第一歩。
１００１＝７×１１×１３　２０３５＝５×１１×３７より
ＡＢＣＡＢＣは５×３７の＝１８５の倍数でもある。
よって最小は１８５１８５。あとは７ケタにならないように２倍３倍するのだが
×３の５５５５５５は数字のならびに反するので除外。
よって１８５１８５，３７０３７０，７４０７４０，９２５９２５の４つが条件に当てはまる。

正解者	到着日時
呑さん	2003年10月6日12:26:13
tekiさん	2003年10月6日14:04:05
玉手箱さん	2003年10月6日17:31:26
佐藤広宣さん	2003年10月6日18:03:38
nobuさん	2003年10月6日21:50:05
高橋　道広さん	2003年10月7日16:24:18
信三さん	2003年10月8日08:34:37
Rom #1さん	2003年10月8日22:26:50
neoさん	2003年10月10日07:14:55
miyaさん	2003年10月10日17:09:11
ちずさん	2003年10月10日18:06:58
柿原　伸次さん	2003年10月11日23:19:52
みかんさん	2003年10月12日01:11:57

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