算数(*^.^*)算数問題  

ここは、算数好きの皆さんから提供いただいた算数(数学)問題を紹介しているコーナーです。皆さんはどのように解きますか?

ただいま算数問題コーナーは休止中です。

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2005年6月26日〜2005年7月10日
回答は締め切りました。

第15問(HP開設2周年&6万アクセス記念)

床に固定された一辺が2cmの立方体の箱に、一辺が1cmの立方体で1〜8の番号が付いた積み木8つを、番号順に詰めていきます。
(同じ番号のものはありません。また、箱の8つの頂点のいずれかに付くように詰めていきます。)
条件:
1)積み木の面同士が接する手前が埋まっていないと奥に入れることができません。
2)積み木の面同士が接する左側が埋まっていないと右側に入れることができません。
3)積み木の面同士が接する真下にない状態で2段目に入れることはできません。
(たとえば、Aが埋まっていないとBに入れられません。またEとDが埋まっていないとHに入れられません。)
上記の3つの条件を満たす、8個すべての
詰め方は何通りありますか?
箱の面ABFEを手前、面ADHEを左、面EFGHを上とします。

よい詰め方の一例
A⇒B⇒E⇒D⇒H⇒C⇒F⇒Gの順番に入れていく

ダメな詰め方の一例
A⇒B⇒
C⇒D⇒E⇒F⇒H⇒Gの順番に入れていく
条件2より、Cの場所にはDの場所より先に入れることができない
問題15問

今回の問題は、みかん さんにご協力いただきました。

解答

48通り 

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解法例 (ろろの解法)

FCH(水色)に入るには、Fの場合はEB、Cの場合はBD、Hの場合はEDの2つの赤で示す場所が埋まっていないと入ることができない、またFCHに入るのに水色で示す他の場所に入っているかいないかで影響を受けないことを利用しました。

問題15問

の積み木は必ずAの位置に入り、の積み木は必ずGの位置に入ります。

は必ずBED(赤)のいずれかに入リます。

次にが入る場所を考えます。
が入った時点で2ヶ所赤が埋まるのではじめて水色の中で1ヶ所入ることが可能な場所ができます。そこで、場合わけをして考えます。

ケース1: が入った後に残ったBED(赤)に入る場合
  (赤が全部埋まる場合

全ての赤が埋まっているのでは残りの3ヶ所のどこに入ってもかまいません。
3x2x3x2x1=36通り

ケース2: が入った場所を含む側面の残りの頂点に入る場合
  (赤が1つ残り水色が1つ埋まる場合

は必ずBED(赤)のうちの残った場所1ヶ所に限定されます。
が入った時点で赤が全部埋まるので、はFCH(水色)の残りの2ヶ所のどこに入ってもかまいません。
3x2x2x1=12通り

よって
36+12=48通りです。

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皆様からの解法
皆様からいただいたメールから転記しました。
内容が一部抜粋になっている場合もあります、ご了承ください。

カエさん
根気よく書き出しました。8番目はGになるので7番目までの辛抱と思ってはじめましたが、実際は6番目まで数えれば良かったのでちょっとほっとしました。
lapinさん
5個目まで場合わけし、ひたすらかぞえました。
経友会の進作さん
 先ず題意より、1番→A、8番→Gが決定する。
残る6個の積み木を2番〜7番に対応させるべく考える。
(1):B、E、DはC、F、Hより優先されるので、2、3、 4番がB、E、Dに入り、5、6、7番がC、F、Hに入る組み 合わせについて考えると6*6=36通り。
(2):B、E、Dのうち2ヶ所に2、3番を入れると4番と 5番のの場所が決定し、6、7番がどこに入ってもかま わないのでその組み合わせは3*2*2=12通り。
(1)+(2)=48通り。
マナブさん
A→(中略)→G  最初の4つで壁を作るか、ABDEに付けるかで場合分け。
壁はABFE,ADHE,ABCDの3種でそれぞれ詰め方は2通り。
残りの4つも詰め方は2通りなので 3*2*2=12通り。
ABDEの詰め方は3!=6通り。残りの詰め方も3!=6通り。
よって6*6=36通り。
合計12+36=48通り。
安曇野山峯農園さん
ひたすら樹形図をかいて数えました。
まこぴ〜 in 風の王国さん
3×2×2+6×6=48
前の部分:面を最初に埋める方法      
   面が3方向に面を埋める4つの並べ方が
   たとえば、      
   ABDCとADBCの順の2通りと      
   EFHGとEHFGの2通り  
後の部分:ABDEの埋め方が6通り、     
   CFHGの埋め方が6通り
なにわさん
樹形図を描きました。
3方向が同等なので3分の1を調べ16×3=48通り (2×2×2でよかった。3×になるとお手上げだ)
算数の森さん
最初の4つ(正方形状に配置される3パターンと三角錐状に配置される1パターン)で場合分けして、あとは条件の対等性を駆使して解きました。
2×2×3+(3×2×1)×(3×2×1)  =48通り
tomhさん
樹形図を描いて、規則をみつけて計算しました。
優先順位別に、(A),(BDE),(CFH),(G) と 分けて考えると良いですね。
yanさん
3!×2×4=48(通り)
〔解説〕 基本的な考え方はろろさんの解法と同じと思いますが、場合わけを省略しました。  
題意より Aが最初、Gが最後。 また、Aを置いた後B、D、Eは置くことができる。
Cは、B、Dをおいた後にしか置けない。
Fは、B、Eをおいた後にしか置けない。
Hは、D、Eをおいた後にしか置けない。
以下、B〜Hの順を考える。
B、D、Eの3つを配置する。(3!通り)
(以下括弧内は、この3つの順番をBDEとするとして説明する)
ここで、3つのうち最後で規制されるもの2つを考える。
1つめは一番最後でもうひとつは1つめの直前か直後の2通り。
(最後がEであるのでF、Hの置き方を考えると 先ずFの置き方はEのあとでしかなく この後Hの置き方を考えるとFの前か後の2通り)
次に残りの1個の置き方は、4通り。
(BDE○○Gであるので [○○はFHまたはHF] CはD以降の間の4箇所の何れかに配置できる。)  
???さん
次の48通り  ABDCEFHG ABDCEHFG ABDECFHG ABDECHFG ABDEFCHG ABDEFHCG ABDEHCFG ABDEHFCG ABEDCFHG ABEDCHFG ABEDFCHG ABEDFHCG ABEDHCFG ABEDHFCG ABEFDCHG ABEFDHCG ADBCEFHG ADBCEHFG ADBECFHG ADBECHFG ADBEFCHG ADBEFHCG ADBEHCFG ADBEHFCG ADEBCFHG ADEBCHFG ADEBFCHG ADEBFHCG ADEBHCFG ADEBHFCG ADEHBCFG ADEHBFCG AEBDCFHG AEBDCHFG AEBDFCHG AEBDFHCG AEBDHCFG AEBDHFCG AEBFDCHG AEBFDHCG AEDBCFHG AEDBCHFG AEDBFCHG AEDBFHCG AEDBHCFG AEDBHFCG AEDHBCFG AEDHBFCG  (Excel Macro) Option Explicit Sub Macro1()     Sheets("Sheet1").Select     Cells(1, 1).Value = 0     Range("A1").Select     '     Dim a(8) As Integer     Call saiki(1, a())     Range("A1").Select End Sub Sub saiki(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer)     Dim b(8) As Integer     Dim dame As Integer     Dim j As Integer     a(n) = 1     While a(n) <= 8       If onaji(n, a()) = 0 Then         For j = 1 To 8           b(j) = 0         Next j         For j = 1 To n           b(a(j)) = 1         Next j         Select Case a(n)           Case 1             dame = 0           Case 2             dame = -(b(1) = 0)           Case 3             dame = -(b(2) + b(4) < 2)           Case 4             dame = -(b(1) = 0)           Case 5             dame = -(b(1) = 0)           Case 6             dame = -(b(2) + b(5) < 2)           Case 7             dame = -(b(3) + b(6) + b(8) < 3)           Case Else             dame = -(b(4) + b(5) < 2)         End Select         If dame = 0 Then           If n < 8 Then             Call saiki(n + 1, a())           Else             Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1             Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = ""             For j = 1 To 8               Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value & C(a(j))             Next j             Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select           End If         End If       End If       a(n) = a(n) + 1     Wend End Sub Private Function onaji(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer) As Integer     Dim j As Integer     onaji = 0     j = 1     While onaji = 0 And j < n       If a(j) = a(n) Then         onaji = 1       Else         j = j + 1       End If     Wend End Function Private Function C(ByVal n As Integer) As String     Select Case n       Case 1         C = "A"       Case 2         C = "B"       Case 3         C = "C"       Case 4         C = "D"       Case 5         C = "E"       Case 6         C = "F"       Case 7         C = "G"       Case Else         C = "H"     End Select End Function ※申し訳ありませんが、フォーム送信時に改行がすべて省略されるため、改行位置がわかりません。
kasamaさん
問題を少し抽象化して、図のようなグラフで考えます(*^_^*)。ノードに適当な番号をつけます。
image001.gif
そして、条件を満たしならが、1.GIFから8.GIFまで経路を数え上げます。直感的に(^_^;)、
 1.GIF2.GIF1.GIF3.GIF1.GIF5.GIF
の各々で始まる経路数は同じと考えられますから、1.GIF2.GIFで始まる経路数を求めて3倍すれば良く、さらに、
 1.GIF2.GIF3.GIF、 1.GIF2.GIF5.GIF
の各々で始まる経路数は同じと考えられますから、結局、1.GIF2.GIF3.GIFで始まる経路数を求めて6倍すれば良い訳です。この経路は、
 1.GIF2.GIF3.GIF4.GIF5.GIF6.GIF7.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF4.GIF5.GIF7.GIF6.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF4.GIF6.GIF7.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF4.GIF7.GIF6.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF6.GIF4.GIF7.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF6.GIF7.GIF4.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF7.GIF4.GIF6.GIF8.GIF
 1.GIF2.GIF3.GIF5.GIF7.GIF6.GIF4.GIF8.GIF
以上、8通りなので、すべての経路は48通りです(^0_0^)。
くろわっさん
4つ置くのに○通り その後○通り と考えました

順位

正解者

到着日時

1位

ゴンともさん

2005年6月26日 21:07:39

2位

nobuさん

2005年6月26日 21:17:02

3位

tekiさん

2005年6月26日 21:30:28

4位

カエさん

2005年6月26日 22:11:18

5位

lapinさん

2005年6月26日 23:09:35

6位

呑ちゃんさん

2005年6月27日 6:45:58

7位

経友会の進作さん

2005年6月27日 9:12:07

8位

マナブさん

2005年6月27日 9:38:39

9位

uchinyanさん

2005年6月27日 11:35:32

10位

安曇野山峯農園さん

2005年6月27日 13:33:21

11位

まこぴ〜 in 風の王国さん

2005年6月27日 13:34:09

12位

なにわさん

2005年6月27日 16:19:13

13位

算数の森さん

2005年6月27日 23:57:25

14位

なかさん

2005年6月28日 11:22:24

15位

tomhさん

2005年6月28日 19:04:04

16位

yanさん

2005年6月28日 22:31:24

17位

???さん

2005年6月30日 8:56:15

18位

kasamaさん

2005年6月30日 14:09:36

19位

ほげさん

2005年6月30日 15:17:31

20位

くろわっさん

2005年7月2日 7:40:17

21位

y-iさん

2005年7月2日 23:32:12

22位

すてっぷすさん

2005年7月3日 23:55:23

23位

信三さん

2005年7月7日 2:31:59

24位

oguchan1さん

2005年7月9日 2:08:38

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